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Sección 6-2 : Funciones logarítmicas
En esta sección tenemos que pasar a las funciones logarítmicas. Esta puede ser una función difícil de graficar de inmediato. Habrá una notación diferente a la que no estás acostumbrado y algunas de las propiedades pueden no ser tan intuitivas. Sin embargo, no te desanimes. Una vez que las entiendas, descubrirás que realmente no son tan malas y que normalmente sólo hace falta trabajar un poco con ellas para entenderlas.
Aquí tienes la definición de la función logaritmo.
Nosotros solemos leer esto como «log base \(b\) de \(x\)».
En esta definición \(y = {\log _b}x\) se llama la forma logarítmica y \({b^y} = x\) se llama la forma exponencial.
Nótese que el requisito de que \(x > 0\) es realmente un resultado del hecho de que también estamos requiriendo \(b > 0\). Si lo piensas, tendrá sentido. Estamos elevando un número positivo a un exponente y, por tanto, es imposible que el resultado sea otra cosa que otro número positivo. Es muy importante recordar que no podemos tomar el logaritmo de cero o de un número negativo.
Ahora, vamos a abordar la notación utilizada aquí, ya que suele ser el mayor obstáculo que los estudiantes necesitan superar antes de empezar a entender los logaritmos. En primer lugar, la parte «log» de la función son simplemente tres letras que se utilizan para denotar que se trata de un logaritmo. No son variables y no significan multiplicación. Sólo están ahí para decirnos que estamos tratando con un logaritmo.
A continuación, el \ ~ (b\) que está subcripto en la parte «log» está ahí para decirnos cuál es la base, ya que esto es una pieza importante de información. Además, a pesar de lo que pueda parecer no hay ninguna exponenciación en la forma del logaritmo anterior. Podría parecer que tenemos \ ({b^x}\) en esa forma, pero no es así. Sólo parece que eso puede ser lo que ocurre.
Es importante mantener la notación con logaritmos recta, si no lo haces te será muy difícil entenderlos y trabajar con ellos.
Ahora, vamos a echar un vistazo rápido a cómo evaluamos logaritmos.
- ({\log _4}16)
- ({\log _2}16)
- ({\log _6}216)
- (\log _5}frac{1}{125}})
- ({\log _{frac{1}{3}}81)
- ({\log _{frac{3}{2}}\displaystyle \frac{27}{8})
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Ahora, la realidad es que evaluar logaritmos directamente puede ser un proceso muy difícil, incluso para aquellos que realmente los entienden. Suele ser mucho más fácil convertir primero la forma logarítmica en forma exponencial. En esa forma solemos obtener la respuesta con bastante rapidez.
a \N ({log _4}16\N) Mostrar Solución
Bien lo que realmente estamos preguntando aquí es lo siguiente.
Como se sugirió anteriormente, convirtamos esto a la forma exponencial.
La mayoría de la gente no puede evaluar el logaritmo \({\log _4}16\) de buenas a primeras. Sin embargo, la mayoría de la gente puede determinar el exponente que necesitamos sobre 4 para obtener 16 una vez que hacemos la exponenciación. Así que, como,
debemos tener el siguiente valor del logaritmo.
b \ {{log _2}16\}) Mostrar Solución
Esta es similar a la parte anterior. Convirtamos primero a forma exponencial.
Si no sabes esta respuesta a la primera, empieza a probar con números. Es decir, calcula \N({2^2}\N), \N({2^3}\N), \N({2^4}\N), etc. hasta que obtengas 16. En este caso necesitamos un exponente de 4. Por lo tanto, el valor de este logaritmo es,
Antes de pasar a la siguiente parte fíjate en que la base en estos es una pieza de notación muy importante. Cambiar la base cambiará la respuesta, por lo que siempre hay que tener en cuenta la base.
c \N({\log _6}216\N) Mostrar solución
Haremos esta sin ninguna explicación real para ver qué tan bien tienes la evaluación de los logaritmos.
Ahora, este parece diferente de las partes anteriores, pero realmente no es diferente. Como siempre, primero convirtamos a forma exponencial.
Primero, fíjate en que la única forma en que podemos elevar un entero a una potencia entera y obtener una fracción como respuesta es que el exponente sea negativo. Por lo tanto, sabemos que el exponente tiene que ser negativo.
Ahora, vamos a ignorar la fracción por un segundo y preguntamos \({5^?} = 125\). En este caso si cubrimos 5 obtendremos 125.
Así que parece que tenemos lo siguiente,
e \N({\log _{frac{1}{3}}81\) Mostrar Solución
Convertir este logaritmo a forma exponencial da,
Ahora, al igual que en la parte anterior, la única forma en que esto va a funcionar es si el exponente es negativo. Entonces todo lo que tenemos que hacer es reconocer que \({3^4} = 81\) y podemos ver que,
Aquí está la respuesta a esta.
Esperamos que ahora tengas una idea de cómo evaluar logaritmos y que empieces a hacerte con la notación. Hay algunas evaluaciones más que queremos hacer, sin embargo, necesitamos introducir algunos logaritmos especiales que ocurren con mucha frecuencia. Son el logaritmo común y el logaritmo natural. Aquí están las definiciones y notaciones que vamos a utilizar para estos dos logaritmos.
Así, el logaritmo común es simplemente el logaritmo base 10, excepto que dejamos de lado la parte «base 10» de la notación. Del mismo modo, el logaritmo natural es simplemente el logaritmo de base \bf{e}} con una notación diferente y donde \bf{e}} es el mismo número que vimos en la sección anterior y se define como \bf{e} = 2.718281828 \ldots \).
Veamos un par de evaluaciones más.
- (\log 1000\)
- (\log \displaystyle \frac{1}{100}})
- (\ln \displaystyle \frac{1}{\bf{e}})
- (\ln \sqrt {\bf{e}})
- ({\log _{34}}34)
- ({\log _8}1)
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a \(\log 1000\) Mostrar Solución
(\log 1000 = 3\) porque \({10^3} = 1000\).
b (\log \displaystyle \frac{1}{100}}) Mostrar solución
(\log \frac{1}{100}} = – 2) porque \({10^{ – 2}} = \frac{1}{{{{10}^2}} = \frac{1}{100}}).
c \ln \frac{1}{\bf{e}}) Mostrar Solución
(\ln \frac{1}{\bf{e}} = – 1\) porque \({{bf{e}^ – 1}} = \frac{1}{\bf{e}}).
d \ln \sqrt {\bf{e}} \ mostrar solución
(\ln \sqrt {\bf{e}} = \frac{1}{2}}) porque \frac{1}{2}} = \sqrt {\bf{e}}. Fíjate en que con esto en realidad sólo estamos reconociendo un cambio de notación de exponente fraccionario a forma radical.
({\log _{34}}34 = 1\) porque \({34^1} = 34\). Observa que ésta funcionará independientemente de la base que utilicemos.
f \N({\log _8}1\) Mostrar solución
({\log _8}1 = 0\) porque \N({8^0} = 1\N). De nuevo, ten en cuenta que la base que estemos usando aquí no cambiará la respuesta.
Así que, al evaluar logaritmos todo lo que realmente estamos preguntando es qué exponente pusimos en la base para obtener el número en el logaritmo.
Ahora, antes de entrar en algunas de las propiedades de los logaritmos vamos a hacer primero un par de gráficas rápidas.
Este ejemplo tiene dos puntos. En primer lugar, nos familiarizará con las gráficas de los dos logaritmos que más probablemente veremos en otras clases. Además, nos dará algo de práctica usando nuestra calculadora para evaluar estos logaritmos porque la realidad es que es así como tendremos que hacer la mayoría de estas evaluaciones.
Aquí tienes una tabla de valores para los dos logaritmos.
| (x\) | (\log x\) | (\ln x\) | (\frac{1}{2}) | -0.3010 | -0,6931 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | |||
| 2 | 0.3010 | 0,6931 | |||
| 3 | 0,4771 | 1,0986 | 4 | 0,6021 | 1.3863 |
Aquí tienes un esquema de las gráficas de estas dos funciones.
Ahora vamos a empezar a ver algunas propiedades de los logaritmos. Empezaremos con algunas propiedades básicas de evaluación.
Propiedades de los logaritmos
- ({\log _b}1 = 0\). Esto se deduce del hecho de que \\Nb^0} = 1\N.
- ({\log _b}b = 1\N). Esto se deduce del hecho de que \({b^1} = b\).
- ({\log _b}{b^x} = x\). Esto se puede generalizar a \N({\log _b}{b^{f\left( x \right)}} = f\left( x \right)\N).
- ({b^{log }_b}x} = x\). Esto se puede generalizar a \N({b^{{log }_b}f\left( x \right)}} = f\left( x \right)\N).
Las propiedades 3 y 4 conducen a una bonita relación entre el logaritmo y la función exponencial. Calculemos primero las siguientes composiciones de funciones para \N(f\a izquierda( x \a derecha) = {b^x}\) y \N(g\a izquierda( x \a derecha) = {\log _b}x\).
Izquierda( {{\log }_b}x} pan class=»x») = {b^{{\log }_b}x} = x\\\a} & Izquierda(«g»} {b^x} = x\a}[end{align*}].
Recordemos de la sección sobre funciones inversas que esto significa que las funciones exponencial y logarítmica son inversas entre sí. Este es un buen hecho para recordar en ocasiones.
También debemos dar la versión generalizada de las propiedades 3 y 4 en términos tanto del logaritmo natural como del logaritmo común, ya que las veremos en el próximo par de secciones en ocasiones.
Ahora, echemos un vistazo a algunas propiedades de manipulación del logaritmo.
Más propiedades de los logaritmos
- ({\log _b}left( {xy} \right) = {\log _b}x + {\log _b}y)
- ({\log _b}left( {\displaystyle \frac{x}{y} \right) = {\log _b}x – {\log _b}y)
- ({\log _b}left( {{x^r}} \right) = r{\log _b}x)
- Si \log _b}x = {\log _b}y) entonces \log(x = y\).
No vamos a hacer nada con la última propiedad en esta sección; está aquí sólo para completarla. Veremos esta propiedad en detalle en un par de secciones.
Las dos primeras propiedades enumeradas aquí pueden ser un poco confusas al principio, ya que por un lado tenemos un producto o un cociente dentro del logaritmo y por otro lado tenemos una suma o diferencia de dos logaritmos. Sólo tendremos que tener cuidado con estas propiedades y asegurarnos de utilizarlas correctamente.
También hay que tener en cuenta que no hay reglas sobre cómo descomponer el logaritmo de la suma o diferencia de dos términos. Para que quede claro, notemos lo siguiente,
Tenga cuidado con esto y no intente utilizarlo ya que simplemente no es cierto.
Note que todas las propiedades dadas hasta este punto son válidas tanto para los logaritmos comunes como para los naturales. Simplemente no las escribimos explícitamente usando la notación para estos dos logaritmos, las propiedades se mantienen para ellos no obstante
Ahora, veamos algunos ejemplos de cómo usar estas propiedades.
- ({\log _4}left( {{x^3}{y^5}} \right)\N-)
- (\log \left( {\displaystyle \frac{{x^9}{y^5}}{{{z^3}}}} \right)\})
- (\ln \qrt {xy})
- ({\log _3}left( {\displaystyle \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)\N-)
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Las instrucciones aquí pueden ser un poco engañosas. Cuando decimos simplificar realmente queremos decir que queremos utilizar todas las propiedades del logaritmo que podamos.
a \log _4}left( {{x^3}{y^5}} \right)\} Mostrar solución
Nota que no podemos utilizar la propiedad 7 para bajar el 3 y el 5 a la parte delantera del logaritmo en este punto. Para poder utilizar la propiedad 7 es necesario elevar a la potencia todo el término del logaritmo. En este caso los dos exponentes están sólo en términos individuales del logaritmo y por lo tanto la propiedad 7 no se puede utilizar aquí.
Sin embargo, tenemos un producto dentro del logaritmo por lo que podemos utilizar la propiedad 5 en este logaritmo.
Ahora que hemos hecho esto, podemos utilizar la propiedad 7 en cada uno de estos logaritmos individuales para obtener la respuesta final simplificada.
En este caso tenemos un producto y un cociente en el logaritmo. En estos casos casi siempre es mejor tratar el cociente antes de tratar el producto. Aquí tenemos el primer paso de esta parte.
Ahora, vamos a descomponer el producto en el primer término y una vez hecho esto nos ocuparemos de los exponentes de los términos.
Para esta parte vamos a reescribir primero el logaritmo un poco para poder ver el primer paso.
Escrito de esta forma podemos ver que hay un único exponente en todo el término, por lo que nos ocuparemos de eso primero.
Ahora, nos ocuparemos del producto.
Nota el paréntesis en esta la respuesta. El \frac{1}{2}{} multiplica el logaritmo original, por lo que también tendrá que multiplicar todo el logaritmo «simplificado». Por lo tanto, tenemos que tener un conjunto de paréntesis allí para asegurarse de que esto se toma correctamente.
d \({\log _3} {left( {\displaystyle \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}{{{x^2}} + {y^2}}}} \right)\) Mostrar solución
Primero nos ocuparemos del cociente en este logaritmo.
Ahora llegamos al verdadero punto de este problema. El segundo logaritmo está tan simplificado como podemos hacerlo. Recuerda que no podemos descomponer un logaritmo de una suma o de una diferencia, por lo que éste no puede descomponerse más. Además, sólo podemos tratar con exponentes si el término en su conjunto se eleva al exponente. El hecho de que los dos trozos de este término estén elevados al cuadrado no importa. Tiene que ser el término entero elevado al cuadrado, como en el primer logaritmo.
Así que podemos simplificar aún más el primer logaritmo, pero el segundo no se puede simplificar más. Aquí está la respuesta final para este problema.
Ahora, tenemos que trabajar algunos ejemplos que van en sentido contrario. Este siguiente conjunto de ejemplos es probablemente más importante que el anterior. Haremos este tipo de trabajo con logaritmos en un par de secciones.
- (7{log _{12}}x + 2{log _{12}}y)
- (3{log x} – 6{log y})
- (5{ln \} izquierda( {x + y} \} derecha) – 2{ln y – 8\ln x\)
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La instrucción que requiere un coeficiente de 1 significa que el cuando lleguemos a un logaritmo final no debe haber ningún número delante del logaritmo.
Nótese también que en estos ejemplos se van a utilizar las propiedades 5 – 7 sólo que las utilizaremos a la inversa. Tendremos expresiones que se parecen al lado derecho de la propiedad y usaremos la propiedad para escribirla de manera que se parezca al lado izquierdo de la propiedad.
El primer paso aquí es deshacerse de los coeficientes en los logaritmos. Para ello se utilizará la propiedad 7 a la inversa. En este sentido, la Propiedad 7 dice que podemos desplazar el coeficiente de un logaritmo hacia arriba para convertirlo en una potencia sobre el término dentro del logaritmo.
Aquí está ese paso para esta parte.
Ahora tenemos una suma de dos logaritmos ambos con coeficientes de 1 y ambos con la misma base. Esto significa que podemos utilizar la propiedad 5 a la inversa. Aquí tienes la respuesta para esta parte.
b \N(3\log x – 6\log y\N) Mostrar Solución
De nuevo, nos ocuparemos primero de los coeficientes de los logaritmos.
Ahora tenemos una diferencia de dos logaritmos y por tanto podemos usar la Propiedad 6 en sentido inverso. Al utilizar la propiedad 6 a la inversa recuerda que el término del logaritmo que se resta va en el denominador del cociente. Aquí tienes la respuesta a esta parte.
En este caso tenemos que lidiar con tres términos y ninguna de las propiedades tiene tres términos. Eso no es un problema. Vamos a ocuparnos primero de los coeficientes y al mismo tiempo vamos a factorizar un signo menos de los dos últimos términos. La razón de esto se verá en el siguiente paso.
Ahora, fíjate en que la cantidad del paréntesis es una suma de dos logaritmos y por lo tanto se puede combinar en un solo logaritmo con un producto de la siguiente manera,
Ahora nos quedan dos logaritmos y son una diferencia de logaritmos y por lo tanto podemos escribirlo como un solo logaritmo con un cociente.
La mayoría de las calculadoras de hoy en día son capaces de evaluar logaritmos comunes y logaritmos naturales. Sin embargo, eso es todo, así que ¿qué hacemos si necesitamos evaluar otro logaritmo que no se puede hacer fácilmente como lo hicimos en el primer conjunto de ejemplos que vimos?
Para hacer esto tenemos la fórmula de cambio de base. Aquí tenemos la fórmula de cambio de base.
Donde podemos elegir que \N(b\) sea lo que queramos que sea. Para usar esto para ayudarnos a evaluar logaritmos este suele ser el logaritmo común o natural. Aquí está la fórmula de cambio de base utilizando tanto el logaritmo común como el natural.
Veamos cómo funciona esto con un ejemplo.
En primer lugar, fíjate en que no podemos usar el mismo método para hacer esta evaluación que hicimos en la primera serie de ejemplos. Esto nos obligaría a mirar la siguiente forma exponencial,
y eso no es algo que cualquiera pueda responder de buenas a primeras. Si el 7 hubiera sido un 5, o un 25, o un 125, etc. podríamos hacerlo, pero no lo es. Por lo tanto, tenemos que usar la fórmula de cambio de base.
Ahora, podemos usar cualquiera de las dos y obtendremos la misma respuesta. Así que, vamos a utilizar las dos y a comprobarlo. Empezaremos con la forma de logaritmo común del cambio de base.
Ahora, vamos a probar con la forma de logaritmo natural de la fórmula de cambio de base.
Así que, hemos obtenido la misma respuesta a pesar de que las fracciones implicaban respuestas diferentes.