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Section 6-2 : Fonctions logarithmiques
Dans cette section, nous devons maintenant passer aux fonctions logarithmiques. Cela peut être une fonction délicate à représenter graphiquement tout de suite. Il va y avoir une notation différente à laquelle vous n’êtes pas habitué et certaines des propriétés peuvent ne pas être si intuitives que cela. Ne vous découragez pas pour autant. Une fois que vous les aurez comprises, vous verrez qu’elles ne sont vraiment pas si mauvaises et qu’il suffit généralement de travailler un peu avec elles pour les comprendre.
Voici la définition de la fonction logarithme.
Si \(b\) est un nombre quelconque tel que \(b > 0\) et \(b \ne 1\) et \(x > 0\) alors,
On lit généralement cela comme « log base \(b\) de \(x\) ».
Dans cette définition, \(y = {\log _b}x\) est appelée la forme logarithmique et \({b^y} = x\) est appelée la forme exponentielle.
Notez que l’exigence que \(x > 0\) est en réalité le résultat du fait que nous exigeons également \(b > 0\). Si vous y réfléchissez, vous comprendrez. Nous élevons un nombre positif à un exposant et il est donc impossible que le résultat soit autre chose qu’un autre nombre positif. Il est très important de se rappeler que nous ne pouvons pas prendre le logarithme de zéro ou d’un nombre négatif.
Maintenant, abordons la notation utilisée ici car c’est généralement le plus grand obstacle que les étudiants doivent surmonter avant de commencer à comprendre les logarithmes. Tout d’abord, la partie « log » de la fonction est simplement trois lettres qui sont utilisées pour dénoter le fait que nous avons affaire à un logarithme. Ce ne sont pas des variables et elles ne signifient pas une multiplication. Elles sont juste là pour nous indiquer que nous avons affaire à un logarithme.
Puis, le \(b\) qui est inscrit sur la partie « log » est là pour nous indiquer quelle est la base car c’est une information importante. Aussi, malgré ce que l’on pourrait croire, il n’y a pas d’exponentiation dans la forme logarithme ci-dessus. On pourrait croire que nous avons obtenu \({b^x}\) sous cette forme, mais ce n’est pas le cas. On dirait juste que ça pourrait être ce qui se passe.
Il est important de garder la notation avec les logarithmes droite, si vous ne le faites pas, vous aurez beaucoup de mal à les comprendre et à travailler avec eux.
Maintenant, regardons rapidement comment nous évaluons les logarithmes.
- \({\log _4}16\)
- \({\log _2}16\)
- \({\log _6}216\)
- \(\displaystyle {\log _5}\frac{1}{{125}}\)
- \({\log _5}\frac{1}{125}})
- \({\log _{\frac{1}{3}}}81\)
- \({\log _{\frac{3}{2}}\displaystyle \frac{{27}{8}\)
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Maintenant, la réalité est que l’évaluation directe des logarithmes peut être un processus très difficile, même pour ceux qui les comprennent vraiment. Il est généralement beaucoup plus facile de convertir d’abord la forme logarithmique en forme exponentielle. Sous cette forme, nous pouvons généralement obtenir la réponse assez rapidement.
a \({\log _4}16\) Show Solution
Ok, ce que nous demandons vraiment ici est le suivant.
Comme suggéré plus haut, convertissons cela sous forme exponentielle.
La plupart des gens ne peuvent pas évaluer le logarithme \({\log _4}16\) de tête. Cependant, la plupart des gens peuvent déterminer l’exposant dont nous avons besoin sur 4 pour obtenir 16 une fois que nous faisons l’exponentiation. Donc, puisque,
\
nous devons avoir la valeur suivante du logarithme.
b \({\log _2}16\) Show Solution
Cette partie est similaire à la précédente. Commençons par convertir en forme exponentielle.
Si vous ne connaissez pas cette réponse sur le bout des doigts, commencez à essayer des nombres. En d’autres termes, calculez \({2^2}\), \({2^3}\), \({2^4}\), etc jusqu’à ce que vous obteniez 16. Dans ce cas, nous avons besoin d’un exposant de 4. Par conséquent, la valeur de ce logarithme est,
\
Avant de passer à la partie suivante, remarquez que la base sur ceux-ci est une pièce très importante de la notation. Changer la base changera la réponse et donc nous devons toujours garder la trace de la base.
c \({\log _6}216\) Show Solution
Nous allons faire celui-ci sans réelle explication pour voir si vous avez bien compris l’évaluation des logarithmes.
\
d \(\displaystyle {\log _5}\frac{1}{{125}}\) Show Solution
Maintenant, celle-ci semble différente des parties précédentes, mais elle ne l’est pas vraiment. Comme toujours, convertissons d’abord en forme exponentielle.
Premièrement, remarquez que la seule façon dont nous pouvons élever un entier à une puissance entière et obtenir une fraction comme réponse est que l’exposant soit négatif. Donc, nous savons que l’exposant doit être négatif.
Maintenant, ignorons la fraction pendant une seconde et demandons \({5^?} = 125\). Dans ce cas, si nous cubions 5, nous obtiendrons 125.
Donc, il semble que nous ayons ce qui suit,
\
e \({\log _{\frac{1}{3}}81\) Show Solution
Convertir ce logarithme en forme exponentielle donne,
\
Maintenant, tout comme la partie précédente, la seule façon dont cela va fonctionner est si l’exposant est négatif. Alors tout ce que nous avons à faire est de reconnaître que \({3^4} = 81\) et nous pouvons voir que,
\
f \({\log _{\frac{3}{2}}} \displaystyle \frac{{27}{8}\) Show Solution
Voici la réponse à celle-ci.
\
Espérons que vous avez maintenant une idée sur la façon d’évaluer les logarithmes et que vous commencez à maîtriser la notation. Il y a quelques évaluations supplémentaires que nous voulons faire cependant, nous devons introduire quelques logarithmes spéciaux qui se produisent sur une base très régulière. Il s’agit du logarithme commun et du logarithme naturel. Voici les définitions et les notations que nous utiliserons pour ces deux logarithmes.
Donc, le logarithme commun est simplement le log base 10, sauf que nous laissons tomber la partie « base 10 » de la notation. De même, le logarithme naturel est simplement le logarithme base \(\bf{e}\) avec une notation différente et où \(\bf{e}\) est le même nombre que nous avons vu dans la section précédente et est défini comme étant \({\bf{e}} = 2.718281828 \ldots \).
Regardons quelques autres évaluations.
- \(\log 1000\)
- (\log \displaystyle \frac{1}{100}}\)
- \(\ln \displaystyle \frac{1}{{{bf{e}}})
- \N(\ln \sqrt {\bf{e}} \)
- \N({\log _{34}}34\)
- ({\log _8}1\)
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Pour faire les quatre premières évaluations, nous devons juste nous rappeler quelles sont les notations pour celles-ci et quelle base est impliquée par la notation. Les deux dernières évaluations servent à illustrer certaines des propriétés de tous les logarithmes que nous examinerons éventuellement.
a \(\log 1000\) Afficher la solution
\N(\log 1000 = 3\) parce que \({10^3} = 1000\).
b \(\log \displaystyle \frac{1}{100}}\) Show Solution
(\log \frac{1}{100}} = – 2\) parce que \({10^{ – 2}} = \frac{1}{{{{10}^2}} = \frac{1}{100}}\).
c \(\ln \displaystyle \frac{1}{{\bf{e}}}) Show Solution
(\ln \frac{1}{\bf{e}} = – 1\) parce que \({{\bf{e}}^{ – 1}} = \frac{1}{\bf{e}}}.
d \(\ln \sqrt {\bf{e}} \) Show Solution
\(\ln \sqrt {\bf{e}} = \frac{1}{2}\) parce que \({{\bf{e}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt {\bf{e}}\). Remarquez qu’avec celle-ci, nous ne faisons que reconnaître un changement de notation de l’exposant fractionnaire à la forme radicale.
e \({\log _{34}}34\) Show Solution
\({\log _{34}}34 = 1\) parce que \({34^1} = 34\). Remarquez que celle-ci fonctionnera quelle que soit la base que nous utilisons.
f \({\log _8}1\) Show Solution
\({\log _8}1 = 0\) parce que \({8^0} = 1\). Encore une fois, notez que la base que nous utilisons ici ne changera pas la réponse.
Donc, lors de l’évaluation des logarithmes, tout ce que nous demandons vraiment est quel exposant avons-nous mis sur la base pour obtenir le nombre dans le logarithme.
Maintenant, avant d’aborder certaines des propriétés des logarithmes, faisons d’abord quelques graphiques rapides.
Cet exemple a deux intérêts. Tout d’abord, il nous permettra de nous familiariser avec les graphiques des deux logarithmes que nous sommes le plus susceptibles de voir dans d’autres classes. De plus, il nous permettra de nous entraîner à utiliser notre calculatrice pour évaluer ces logarithmes, car en réalité, c’est ainsi que nous devrons faire la plupart de ces évaluations.
Voici un tableau de valeurs pour les deux logarithmes.
| \(x\) | \(\log x\) | \(\ln x\) | |
|---|---|---|---|
| \(\frac{1}{2}\) | -0.3010 | -0,6931 | |
| 1 | 0 | 0 | 2 | 0.3010 | 0,6931 |
| 3 | 0,4771 | 1,0986 | |
| 4 | 0,6021 | 1.3863 |
Voici un croquis des graphiques de ces deux fonctions.
Maintenant, commençons à regarder certaines propriétés des logarithmes. Nous allons commencer par quelques propriétés d’évaluation de base.
Propriétés des logarithmes
- \({\log _b}1 = 0\). Cela découle du fait que \({b^0} = 1\).
- \({\log _b}b = 1\). Cela découle du fait que \({b^1} = b\).
- {\i}({\log _b}{b^x} = x\). Ceci peut être généralisé en \({\log _b}{b^{f\left( x \right)}} = f\left( x \right)\).
- \({b^{{{\log }_b}x}} = x\). Ceci peut être généralisé en \({b^{{\log }_b}f\left( x \right)}} = f\left( x \right)\).
Les propriétés 3 et 4 conduisent à une belle relation entre le logarithme et la fonction exponentielle. Calculons d’abord les compositions de fonctions suivantes pour \(f\left( x \right) = {b^x}\) et \(g\left( x \right) = {\log _b}x\).
\ = f\left( {{\log }_b}x} \right) = {b^{{{\log }_b}x}} = x\\\\\ \left( {g \circ f} \right)\left( x \right) & = g\left = g\left = {\log _b}{b^x} = x\end{align*}\]
Rappellez-vous de la section sur les fonctions inverses, cela signifie que les fonctions exponentielle et logarithme sont inverses l’une de l’autre. C’est un fait agréable à rappeler à l’occasion.
Nous devrions également donner la version généralisée des propriétés 3 et 4 en termes de logarithme naturel et commun, car nous les verrons à l’occasion dans les prochaines sections.
Maintenant, jetons un coup d’œil à certaines propriétés de manipulation du logarithme.
Plus de propriétés des logarithmes
- \({\log _b}\left( {xy} \right) = {\log _b}x + {\log _b}y\)
- \({\log _b}\left( {\displaystyle \frac{x}{y}} \right) = {\log _b}x – {\log _b}y\)
- ({\log _b}\left( {{x^r}} \right) = r{\log _b}x\)
- Si \({\log _b}x = {\log _b}y\) alors \(x = y\).
Nous ne ferons rien avec la dernière propriété dans cette section ; elle n’est là que par souci d’exhaustivité. Nous examinerons cette propriété en détail dans quelques sections.
Les deux premières propriétés énumérées ici peuvent être un peu confuses au début puisque d’un côté nous avons un produit ou un quotient à l’intérieur du logarithme et de l’autre côté nous avons une somme ou une différence de deux logarithmes. Nous devrons juste faire attention à ces propriétés et nous assurer de les utiliser correctement.
Notez également qu’il n’y a pas de règles sur la façon de décomposer le logarithme de la somme ou de la différence de deux termes. Pour être clair à ce sujet, notons ce qui suit,
Faites attention à celles-ci et n’essayez pas de les utiliser car elles ne sont tout simplement pas vraies.
Notez que toutes les propriétés données jusqu’à ce point sont valables pour les logarithmes communs et naturels. Nous ne les avons simplement pas écrites explicitement en utilisant la notation de ces deux logarithmes, les propriétés sont néanmoins valables pour eux
Maintenant, voyons quelques exemples d’utilisation de ces propriétés.
- \({\log _4}\left( {{x^3}{y^5}} \right)\)
- (\log \left( {\displaystyle \frac{{{x^9}{y^5}}{{{z^3}}}} \right)\)
- (\ln \sqrt {xy} \)
- ({\log _3}\left( {\displaystyle \frac{{{{\left( {x + y}\right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)\)
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Les instructions ici peuvent être un peu trompeuses. Lorsque nous disons simplifier, nous voulons vraiment dire que nous voulons utiliser autant de propriétés du logarithme que possible.
a \({\log _4}\left( {{x^3}{y^5}} \right)\)Show Solution
Notez que nous ne pouvons pas utiliser la propriété 7 pour faire descendre le 3 et le 5 dans le front du logarithme à ce stade. Afin d’utiliser la propriété 7, le terme entier du logarithme doit être élevé à la puissance. Dans ce cas, les deux exposants sont seulement sur des termes individuels dans le logarithme et donc la propriété 7 ne peut pas être utilisée ici.
Nous avons, cependant, un produit à l’intérieur du logarithme donc nous pouvons utiliser la propriété 5 sur ce logarithme.
Maintenant que nous avons fait cela, nous pouvons utiliser la propriété 7 sur chacun de ces logarithmes individuels pour obtenir la réponse simplifiée finale.
b \(\log \left( {\displaystyle \frac{{{x^9}{y^5}}{{{z^3}}}} \right)\) Show Solution
Dans ce cas, nous avons un produit et un quotient dans le logarithme. Dans ces cas, il est presque toujours préférable de traiter le quotient avant de traiter le produit. Voici la première étape de cette partie.
Maintenant, nous allons décomposer le produit dans le premier terme et une fois que nous l’aurons fait, nous nous occuperons des exposants sur les termes.
c \(\ln \sqrt {xy} \) Show Solution
Pour cette partie, réécrivons d’abord un peu le logarithme afin de voir la première étape.
Ecrit sous cette forme, nous pouvons voir qu’il y a un seul exposant sur tout le terme et donc nous allons nous occuper de cela en premier.
Maintenant, nous allons nous occuper du produit.
Notez les parenthèses dans cette réponse. Le \(\frac{1}{2}\) multiplie le logarithme d’origine et donc il devra aussi multiplier l’ensemble du logarithme « simplifié ». Par conséquent, nous avons besoin d’un ensemble de parenthèses pour nous assurer que cela est pris en charge correctement.
d \({\log _3}\left( {\displaystyle \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)\) Show Solution
Nous allons d’abord nous occuper du quotient dans ce logarithme.
Nous arrivons maintenant au véritable point de ce problème. Le deuxième logarithme est aussi simplifié que nous pouvons le faire. Rappelez-vous que nous ne pouvons pas décomposer le logarithme d’une somme ou d’une différence, et donc ceci ne peut pas être décomposé plus loin. De plus, nous ne pouvons traiter les exposants que si le terme dans son ensemble est élevé à l’exposant. Le fait que les deux parties de ce terme soient élevées au carré n’a aucune importance. Il faut que ce soit le terme entier au carré, comme dans le premier logarithme.
Donc, nous pouvons simplifier davantage le premier logarithme, mais le deuxième logarithme ne peut plus être simplifié. Voici la réponse finale à ce problème.
Maintenant, nous devons travailler des exemples qui vont dans l’autre sens. Cette prochaine série d’exemples est probablement plus importante que la précédente. Nous ferons ce genre de travail sur les logarithmes dans quelques sections.
- \(7{\log _{12}}x + 2{\log _{12}}y\)
- \(3\log x – 6\log y\)
- \(5\ln \left( {x + y} \right) – 2\ln y – 8\ln x\)
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L’instruction exigeant un coefficient de 1 signifie que le lorsque nous descendons à un logarithme final, il ne devrait pas y avoir de nombre devant le logarithme.
Notez également que ces exemples vont utiliser les propriétés 5 à 7 seulement nous allons les utiliser à l’envers. Nous aurons des expressions qui ressemblent au côté droit de la propriété et nous utiliserons la propriété pour l’écrire afin qu’elle ressemble au côté gauche de la propriété.
a \(7{\log _{12}}x + 2{\log _{12}}y\) Show Solution
La première étape ici est de se débarrasser des coefficients sur les logarithmes. Pour cela, on va utiliser la propriété 7 en sens inverse. Dans ce sens, la propriété 7 dit que nous pouvons déplacer le coefficient d’un logarithme vers le haut pour devenir une puissance sur le terme à l’intérieur du logarithme.
Voici cette étape pour cette partie.
Nous avons maintenant une somme de deux logarithmes ayant tous deux des coefficients de 1 et ayant la même base. Cela signifie que nous pouvons utiliser la propriété 5 en sens inverse. Voici la réponse pour cette partie.
\
b \(3\log x – 6\log y\) Show Solution
De nouveau, nous allons d’abord nous occuper des coefficients sur les logarithmes.
\
Nous avons maintenant une différence de deux logarithmes et nous pouvons donc utiliser la propriété 6 à l’envers. Lorsque vous utilisez la propriété 6 à l’envers, rappelez-vous que le terme du logarithme qui est soustrait va dans le dénominateur du quotient. Voici la réponse à cette partie.
c \(5\ln \left( {x + y} \right) – 2\ln y – 8\ln x\) Show Solution
Dans ce cas, nous avons trois termes à gérer et aucune des propriétés ne comporte trois termes. Ce n’est pas un problème. Occupons-nous d’abord des coefficients et en même temps nous allons factoriser un signe moins sur les deux derniers termes. La raison en sera apparente à l’étape suivante.
Maintenant, remarquez que la quantité entre parenthèses est une somme de deux logarithmes et qu’elle peut donc être combinée en un seul logarithme avec un produit comme suit,
Maintenant, nous n’avons plus que deux logarithmes et ils sont une différence de logarithmes et nous pouvons donc l’écrire comme un seul logarithme avec un quotient.
\N
Le dernier sujet que nous devons aborder dans cette section est la formule de changement de base.
La plupart des calculatrices de nos jours sont capables d’évaluer les logarithmes communs et les logarithmes naturels. Cependant, c’est à peu près tout, alors que faisons-nous si nous avons besoin d’évaluer un autre logarithme qui ne peut pas être fait facilement comme nous l’avons fait dans la première série d’exemples que nous avons examinés ?
Pour ce faire, nous avons la formule de changement de base. Voici la formule de changement de base.
\
où nous pouvons choisir \(b\) pour être tout ce que nous voulons qu’il soit. Afin d’utiliser ceci pour nous aider à évaluer les logarithmes, il s’agit généralement du logarithme commun ou naturel. Voici la formule de changement de base utilisant à la fois le logarithme commun et le logarithme naturel.
Voyons comment cela fonctionne avec un exemple.
Premièrement, remarquez que nous ne pouvons pas utiliser la même méthode pour faire cette évaluation que celle utilisée dans la première série d’exemples. Cela nous obligerait à regarder la forme exponentielle suivante,
\N- et ce n’est tout simplement pas quelque chose que tout le monde peut répondre du haut de sa tête. Si le 7 avait été un 5, ou un 25, ou un 125, etc. nous pourrions le faire, mais ce n’est pas le cas. Par conséquent, nous devons utiliser la formule de changement de base.
Maintenant, nous pouvons utiliser l’une ou l’autre et nous obtiendrons la même réponse. Donc, utilisons les deux et vérifions cela. Nous allons commencer par la forme logarithmique commune du changement de base.
Maintenant, essayons la forme logarithmique naturelle de la formule de changement de base.
Donc, nous avons obtenu la même réponse malgré le fait que les fractions impliquaient des réponses différentes.