Effet Hall

L’effet Hall est dû à la nature du courant dans un conducteur. Le courant consiste en un mouvement de nombreux petits porteurs de charge, généralement des électrons, des trous, des ions (voir Electromigration) ou les trois. En présence d’un champ magnétique, ces charges subissent une force, appelée force de Lorentz. En l’absence d’un tel champ magnétique, les charges suivent des trajectoires approximativement rectilignes, « en ligne de mire », entre les collisions avec les impuretés, les phonons, etc. Cependant, lorsqu’un champ magnétique avec une composante perpendiculaire est appliqué, leurs trajectoires entre les collisions sont courbées, ce qui fait que les charges mobiles s’accumulent sur une face du matériau. Cela laisse des charges égales et opposées exposées sur l’autre face, où il y a une rareté de charges mobiles. Le résultat est une distribution asymétrique de la densité de charge à travers l’élément de Hall, résultant d’une force perpendiculaire à la fois à la ligne de visée et au champ magnétique appliqué. La séparation des charges établit un champ électrique qui s’oppose à la migration d’autres charges, de sorte qu’un potentiel électrique stable est établi tant que la charge circule.

Dans l’électromagnétisme classique, les électrons se déplacent dans la direction opposée au courant I (par convention, le « courant » décrit un « flux de trous » théorique). Dans certains métaux et semi-conducteurs, il semble que des « trous » circulent réellement car le sens de la tension est opposé à la dérivation ci-dessous.

Montage de la mesure de l’effet Hall pour les électrons. Initialement, les électrons suivent la flèche incurvée, en raison de la force magnétique. À une certaine distance des contacts d’introduction de courant, les électrons s’accumulent du côté gauche et s’épuisent du côté droit, ce qui crée un champ électrique ξy dans la direction de la VH assignée. VH est négatif pour certains semi-conducteurs où les « trous » semblent circuler. En régime permanent, ξy sera assez fort pour annuler exactement la force magnétique, donc les électrons suivent la flèche droite (en pointillés).

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Animation montrant le principe simplifié

Pour un métal simple où il n’y a qu’un seul type de porteur de charge (électrons), la tension de Hall VH peut être dérivée en utilisant la force de Lorentz et en voyant que, en régime permanent, les charges ne se déplacent pas dans la direction de l’axe y. Ainsi, la force magnétique sur chaque électron dans la direction de l’axe y est annulée par une force électrique dans l’axe y due à l’accumulation de charges. Le terme vx est la vitesse de dérive du courant, que l’on suppose à ce stade être des trous par convention. Le terme vxBz est négatif dans la direction de l’axe des y par la règle de la main droite.

F = q ( E + v × B ) {\displaystyle \mathbf {F} =q{\bigl (}\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} {\bigl )}}

$\mathbf {F} =q{\bigl (}\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} {\bigl )$

En régime permanent, F = 0, donc 0 = Ey – vxBz, où Ey est affecté à la direction de l’axe des y, (et non avec la flèche du champ électrique induit ξy comme dans l’image (pointant dans la direction -y), qui vous indique où pointe le champ provoqué par les électrons).

Dans les fils, ce sont des électrons et non des trous qui circulent, donc vx → -vx et q → -q. Aussi Ey = -VH/w. En substituant ces changements, on obtient

V H = v x B z w {\displaystyle V_{\mathrm {H}} }=v_{x}B_{z}w}

$V_{\mathrm {H}} }=v_{x}B_{z}w$

Le courant conventionnel de « trous » est dans le sens négatif du courant d’électrons et du négatif de la charge électrique ce qui donne Ix = ntw(-vx)(-e) où n est la densité de porteurs de charge, tw est la surface de la section transversale et -e est la charge de chaque électron. En résolvant pour w {\displaystyle w}

$w$

et en branchant dans ce qui précède, on obtient la tension de Hall : V H = I x B z n t e {\displaystyle V_{\mathrm {H}} }={\frac {I_{x}B_{z}}{nte}}

$V_{\mathrm {H}} }={\frac {I_{x}B_{z}}{nte}$

Si l’accumulation de charge avait été positive (comme cela apparaît dans certains métaux et semi-conducteurs), alors le VH assigné dans l’image aurait été négatif (une charge positive se serait accumulée sur le côté gauche).

Le coefficient de Hall est défini comme

R H = E y j x B z {\displaystyle R_{\mathrm {H}}. }={\frac {E_{y}}{j_{x}B_{z}}}}

$R_{\mathrm {H}} }={\frac {E_{y}}{j_{x}B_{z}}}$

ou E = – R H ( J c × B ) {\displaystyle \mathbf {E} =-R_{\mathrm {H} }(\mathbf {J} _{c}\times \mathbf {B} )}

$\mathbf {E} =-R_{\mathrm {H} }(\mathbf {J} _{c}\times \mathbf {B} )$

où j est la densité de courant des électrons porteurs, et Ey est le champ électrique induit. En unités SI, cela devient

R H = E y j x B = V H t I B = 1 n e . {\displaystyle R_{\mathrm {H} }={\frac {E_{y}{j_{x}B}}={\frac {V_{\mathrm {H}} }t}{IB}={\frac {1}{ne}}.}

$R_{\mathrm {H}} }={\frac {E_{y}{j_{x}B}}={\frac {V_{\mathrm {H}} }t}{IB}}={\frac {1}{ne}}.$

(Les unités d’HR sont généralement exprimées en m3/C, ou Ω-cm/G, ou autres variantes.) Par conséquent, l’effet Hall est très utile comme moyen de mesurer soit la densité de porteurs, soit le champ magnétique.

Une caractéristique très importante de l’effet Hall est qu’il différencie les charges positives se déplaçant dans une direction et les charges négatives se déplaçant dans la direction opposée. Dans le schéma ci-dessus, on présente l’effet Hall avec un porteur de charge négative (l’électron). Mais considérons que le même champ magnétique et le même courant sont appliqués, mais que le courant est transporté à l’intérieur du dispositif à effet Hall par une particule positive. La particule devrait bien sûr se déplacer dans la direction opposée à celle de l’électron pour que le courant soit le même – vers le bas dans le diagramme, et non vers le haut comme l’électron. Ainsi, d’un point de vue mnémonique, votre pouce dans la loi de la force de Lorentz, représentant le courant (conventionnel), serait dirigé dans la même direction que précédemment, car le courant est le même – un électron qui se déplace vers le haut est le même courant qu’une charge positive qui se déplace vers le bas. Et comme les doigts (champ magnétique) sont également les mêmes, il est intéressant de noter que le porteur de charge est dévié vers la gauche dans le diagramme, qu’il soit positif ou négatif. Mais si les porteurs positifs sont déviés vers la gauche, ils construisent une tension relativement positive sur la gauche, alors que si les porteurs négatifs (à savoir les électrons) le sont, ils construisent une tension négative sur la gauche, comme le montre le schéma. Ainsi, pour un même courant et un même champ magnétique, la polarité de la tension de Hall dépend de la nature interne du conducteur et est utile pour élucider son fonctionnement interne.

Cette propriété de l’effet Hall a offert la première preuve réelle que les courants électriques dans la plupart des métaux sont transportés par des électrons en mouvement, et non par des protons. Elle a également montré que dans certaines substances (notamment les semi-conducteurs de type p), il est au contraire plus approprié de considérer que le courant est dû à des « trous » positifs en mouvement plutôt qu’à des électrons négatifs. Une source fréquente de confusion avec l’effet Hall dans ces matériaux est que les trous qui se déplacent dans un sens sont en réalité des électrons qui se déplacent dans le sens opposé. On s’attend donc à ce que la polarité de la tension de Hall soit la même que si les électrons étaient les porteurs de charge comme dans la plupart des métaux et des semi-conducteurs de type n. Pourtant, nous observons la polarité opposée de la tension de Hall, indiquant des porteurs de charge positifs. Cependant, il n’y a évidemment pas de positrons réels ou d’autres particules élémentaires positives portant la charge dans les semi-conducteurs de type p, d’où le nom de « trous ». De la même manière que l’image trop simpliste de la lumière dans le verre comme des photons absorbés et réémis pour expliquer la réfraction se brise après un examen plus approfondi, cette contradiction apparente ne peut elle aussi être résolue que par la théorie moderne de la mécanique quantique des quasi-particules dans laquelle le mouvement quantifié collectif de plusieurs particules peut, dans un sens physique réel, être considéré comme une particule à part entière (bien que non élémentaire).

Dans un autre ordre d’idées, l’inhomogénéité de l’échantillon conducteur peut entraîner un signe fallacieux de l’effet Hall, même dans une configuration idéale de van der Pauw des électrodes. Par exemple, un effet Hall compatible avec des porteurs positifs a été observé dans des semi-conducteurs de type n évident. Une autre source d’artefact, dans les matériaux uniformes, se produit lorsque le rapport d’aspect de l’échantillon n’est pas assez long : la tension de Hall complète ne se développe que loin des contacts induisant le courant, car au niveau des contacts, la tension transversale est court-circuitée à zéro.

Effet Hall dans les semi-conducteursModification

Lorsqu’un semi-conducteur porteur de courant est maintenu dans un champ magnétique, les porteurs de charge du semi-conducteur subissent une force dans une direction perpendiculaire à la fois au champ magnétique et au courant. A l’équilibre, une tension apparaît aux bords du semi-conducteur.

La formule simple du coefficient de Hall donnée ci-dessus est généralement une bonne explication lorsque la conduction est dominée par un seul porteur de charge. Cependant, dans les semi-conducteurs et de nombreux métaux, la théorie est plus complexe, car dans ces matériaux, la conduction peut impliquer des contributions significatives et simultanées des électrons et des trous, qui peuvent être présents en différentes concentrations et avoir des mobilités différentes. Pour des champs magnétiques modérés, le coefficient de Hall est

R H = p μ h 2 – n μ e 2 e ( p μ h + n μ e ) 2 {\displaystyle R_{\mathrm {H}} }={\frac {p\mu _{\mathrm {h}}} }^{2}-n\mu _{\mathrm {e}}} }^{2}}{e(p\mu _{\mathrm {h} }+n\mu _{\mathrm {e} })^{2}}}}

$R_{\mathrm {H}} }={\frac {p\mu _{\mathrm {h} }^{2}-n\mu _{\mathrm {e} }^{2}}{e(p\mu _{\mathrm {h} }+n\mu _{\mathrm {e} })^{2}}}$

ou de manière équivalente

R H = p – n b 2 e ( p + n b ) 2 {\displaystyle R_{\mathrm {H} }={\frac {p-nb^{2}}{e(p+nb)^{2}}}}

$R_{\mathrm {H}} }={\frac {p-nb^{2}}{e(p+nb)^{2}}}$

avec

b = μ e μ h . {\displaystyle b={\frac {\{\i1}mu _{\i}mathrm {e}} }}{{\mu _{\mathrm {h}} }}}.}

$b={\frac {\mu _{\mathrm {e}} }}{\mu _{\mathrm {h}}$

Ici, n est la concentration d’électrons, p la concentration de trous, μe la mobilité des électrons, μh la mobilité des trous et e la charge élémentaire.

Pour de grands champs appliqués, l’expression plus simple analogue à celle pour un type de porteur unique tient.

Relation avec la formation des étoilesModifié

Bien qu’il soit bien connu que les champs magnétiques jouent un rôle important dans la formation des étoiles, les modèles de recherche indiquent que la diffusion de Hall influence de manière critique la dynamique de l’effondrement gravitationnel qui forme les proto-étoiles.

Effet Hall quantiqueModifié

Article principal : Effet Hall quantique

Pour un système d’électrons bidimensionnel qui peut être produit dans un MOSFET, en présence d’une grande intensité de champ magnétique et d’une basse température, on peut observer l’effet Hall quantique, dans lequel la conductance Hall σ subit des transitions Hall quantiques pour prendre les valeurs quantifiées.

Edit

Article principal : Effet Hall de spin

L’effet Hall de spin consiste en l’accumulation de spin sur les frontières latérales d’un échantillon porteur de courant. Aucun champ magnétique n’est nécessaire. Il a été prédit par Mikhail Dyakonov et V. I. Perel en 1971 et observé expérimentalement plus de 30 ans plus tard, aussi bien dans les semi-conducteurs que dans les métaux, à des températures cryogéniques comme à des températures ambiantes.

Effet Hall de spin quantiqueModifier

Article principal : Effet Hall de spin quantique

Pour les puits quantiques bidimensionnels de tellurure de mercure avec un fort couplage spin-orbite, en champ magnétique nul, à basse température, l’effet Hall de spin quantique a été récemment observé.

Effet Hall anomalEdit

Dans les matériaux ferromagnétiques (et paramagnétiques dans un champ magnétique), la résistivité Hall comprend une contribution supplémentaire, connue sous le nom d’effet Hall anomal (ou effet Hall extraordinaire), qui dépend directement de l’aimantation du matériau, et qui est souvent beaucoup plus importante que l’effet Hall ordinaire. (Notez que cet effet n’est pas dû à la contribution de l’aimantation au champ magnétique total). Par exemple, dans le nickel, le coefficient de Hall anormal est environ 100 fois plus grand que le coefficient de Hall ordinaire à proximité de la température de Curie, mais les deux sont similaires à très basse température. Bien qu’il s’agisse d’un phénomène bien reconnu, son origine dans les différents matériaux fait encore l’objet de débats. L’effet Hall anormal peut être soit un effet extrinsèque (lié au désordre) dû à la diffusion des porteurs de charge en fonction du spin, soit un effet intrinsèque qui peut être décrit en termes d’effet de phase de Berry dans l’espace des moments du cristal (espace k).

Effet Hall dans les gaz ionisésEdit

L’effet Hall dans un gaz ionisé (plasma) est sensiblement différent de l’effet Hall dans les solides (où le paramètre de Hall est toujours bien inférieur à l’unité). Dans un plasma, le paramètre de Hall peut prendre n’importe quelle valeur. Le paramètre de Hall, β, dans un plasma est le rapport entre la gyofréquence des électrons, Ωe, et la fréquence de collision électrons-particules lourdes, ν:

β = Ω e ν = e B m e ν {\displaystyle \beta ={\frac {\Omega _{\mathrm {e}}. }}{\frac {eB}{m_{\mathrm {e}}}{\i1}-{\i1}-{\i1} }}}

$\beta ={\frac {\Omega _{\mathrm {e}} }}{\frac {eB}{m_{\mathrm {e}}}{\i1}-{\i1}-{\i1}-{\i1}} }\nu }$

où

e est la charge élémentaire (environ 1,6×10-19 C)
B est le champ magnétique (en teslas)
me est la masse de l’électron (environ 9.1×10-31 kg).

La valeur du paramètre de Hall augmente avec l’intensité du champ magnétique.

Physiquement, les trajectoires des électrons sont courbées par la force de Lorentz. Néanmoins, lorsque le paramètre de Hall est faible, leur mouvement entre deux rencontres avec des particules lourdes (neutres ou ioniques) est presque linéaire. Mais si le paramètre de Hall est élevé, les mouvements des électrons sont fortement courbés. Le vecteur densité de courant, J, n’est plus colinéaire avec le vecteur champ électrique, E. Les deux vecteurs J et E forment l’angle de Hall, θ, qui donne aussi le paramètre de Hall :

β = tan ( θ ) . {\displaystyle \beta =\tan(\theta ).}

$\beta =\tan(\theta ).$