Les postulats en géométrie sont très similaires aux axiomes, aux vérités évidentes et aux croyances en logique, en philosophie politique et en prise de décision personnelle. Les cinq postulats de la géométrie euclidienne définissent les règles de base régissant la création et l’extension des figures géométriques avec la règle et le compas. Avec les cinq axiomes (ou « notions communes ») et les vingt-trois définitions qui figurent au début des Éléments d’Euclide, ils constituent la base des nombreuses preuves données dans cette compilation magistrale des connaissances géométriques de la Grèce antique. Elles sont les suivantes :
- Un segment de droite peut être tracé de n’importe quel point donné à n’importe quel autre.
- Une ligne droite peut être prolongée à n’importe quelle longueur finie.
- Un cercle peut être décrit avec n’importe quel point donné comme centre et n’importe quelle distance comme rayon.
- Tous les angles droits sont congruents.
- Si une ligne droite coupe deux autres lignes droites, et rend ainsi les deux angles intérieurs d’un de ses côtés réunis inférieurs à deux angles droits, alors les autres lignes droites se rejoindront en un point si on les étend suffisamment loin du côté où les angles sont inférieurs à deux angles droits.
Le postulat 5, dit postulat du parallèle était la source de beaucoup d’agacement, probablement même pour Euclide, pour être si relativement prolixe. Les mathématiciens ont un sens particulier de l’esthétique qui valorise la simplicité découlant de la simplicité, les longues preuves compliquées, les équations et les calculs nécessaires à la certitude rigoureuse se faisant en coulisse, et avoir une phrase aussi longue au milieu d’autres énoncés aussi simples et intuitifs semble gênant. C’est pourquoi, au fil des siècles, de nombreux mathématiciens ont essayé de prouver les résultats des Éléments sans utiliser le postulat du parallèle, mais sans succès. Cependant, au cours des deux derniers siècles, des géométries non euclidiennes assorties ont été dérivées sur la base de l’utilisation des quatre premiers postulats euclidiens ainsi que de diverses négations du cinquième.
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