Règles de baseNégatifSci. Pas’nAnglais. Not’nFractionnel
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Les exposants sont un raccourci pour la multiplication répétée d’une même chose par elle-même. Par exemple, le raccourci pour la multiplication de trois copies du nombre 5 est indiqué à droite du signe « égal » dans (5)(5)(5) = 53. L' »exposant », qui est 3 dans cet exemple, représente le nombre de fois que la valeur est multipliée. La chose qui est multipliée, étant 5 dans cet exemple, est appelée la « base ».
Ce processus d’utilisation des exposants est appelé « élévation à une puissance », où l’exposant est la « puissance ». L’expression « 53 » se prononce comme « cinq, élevé à la troisième puissance » ou « cinq à la troisième ».
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Il existe deux puissances spécialement nommées : » à la deuxième puissance » se prononce généralement comme » au carré « , et » à la troisième puissance » se prononce généralement comme » au cube « . Ainsi, « 53 » est généralement prononcé comme « cinq cubes ».
Lorsque nous traitons des nombres, nous nous contentons généralement de simplifier ; nous préférons traiter « 27 » que « 33 ». Mais avec les variables, nous avons besoin des exposants, car nous préférons traiter avec « x6 » qu’avec « xxxxxx ».
Les exposants ont quelques règles que nous pouvons utiliser pour simplifier les expressions.
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Simplifier (x3)(x4).
Pour simplifier cela, je peux penser en termes de ce que ces exposants signifient. » Au tiers » signifie » multiplier trois exemplaires » et » au quart » signifie » multiplier quatre exemplaires « . En utilisant ce fait, je peux « développer » les deux facteurs, puis travailler à rebours jusqu’à la forme simplifiée. D’abord, je développe :
(x3)(x4) = (xxx)(xxxx)
Maintenant je peux enlever les parenthèses et mettre tous les facteurs ensemble :
(xxx)(xxxx) = xxxxxxx
Avertissement
C’est sept copies de la variable. « Multiplier sept copies » signifie « à la septième puissance », ce qui peut donc être reformulé comme suit :
xxxxxxx = x7
En mettant tout cela bout à bout, les étapes sont les suivantes :
(x3)(x4) = (xxx)(xxxx)
= xxxxxxx
= x7
La forme simplifiée de (x3)(x4) est alors :
x7
Notez que x7 est également égal à x(3+4). Cela démontre la première règle de base des exposants :
Lorsque vous multipliez deux termes ayant la même base, vous pouvez additionner les exposants :
( x m ) ( x n ) = x( m + n )
Cependant, nous ne pouvons PAS simplifier (x4)(y3), car les bases sont différentes : (x4)(y3) = xxxxyyy = (x4)(y3). Rien ne se combine.
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Simplifier (a5 b3) (a b7).
Maintenant que je connais la règle (à savoir que je peux ajouter les puissances sur la même base), je peux commencer par déplacer les bases pour avoir toutes les mêmes bases les unes à côté des autres :
(a5 b3) (a b7) = (a5) (a) (b3) (b7)
Affilié
Maintenant je veux ajouter les puissances sur les a et les b. Cependant, le deuxième a ne semble pas avoir de puissance. Que dois-je ajouter pour ce terme ?
Tout ce qui n’a pas de puissance sur lui, dans un sens technique, étant » élevé à la puissance 1 « . Tout ce qui est à la puissance 1 est juste lui-même, puisqu’il « multiplie un exemplaire » de lui-même. Donc l’expression ci-dessus peut être réécrite comme:
(a5) (a) (b3) (b7) = (a5) (a1) (b3) (b7)
Maintenant je peux combiner :
(a5) (a1) (b3) (b7) = a5+1 b3+7 = a6 b10
En combinant tout cela, mon travail à la main ressemblerait à ceci :
(a5 b3) (a b7) = (a5 a1) (b3 b7) =
a6 b10
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Dans l’exemple suivant, il y a deux puissances, l’une étant » à l’intérieur » de l’autre, en quelque sorte.
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Simplifier (x2)4
Pour faire la simplification, je peux commencer par réfléchir à la signification des exposants. Le « au quatrième » à l’extérieur signifie que je multiplie quatre copies de n’importe quelle base qui se trouve à l’intérieur des parenthèses. Dans ce cas, la base de la quatrième puissance est x2. Multiplier quatre copies de cette base me donne :
(x2)4 = (x2)(x2)(x2)(x2)
Chaque facteur dans l’expansion ci-dessus est » multiplier deux copies » de la variable. Cela se développe comme suit :
(x2)(x2)(x2)(x2) = (xx)(xx)(xx)(xx)
En retirant les parenthèses, j’obtiens :
(xx)(xx)(xx)(xx) = xxxxxxxx
C’est une chaîne de huit copies de la variable. « Multiplier huit copies » signifie « à la huitième puissance », donc cela signifie :
xxxxxxxx = x8
Mise en relation :
(x2)4 = (x2)(x2)(x2)(x2)
= (xx)(xx)(xx)(xx)
= xxxxxxxx
= x8
Notez que (x2)4 = x8, et que 2 × 4 = 8. Cela démontre la deuxième règle de l’exposant :
Chaque fois que vous avez une expression d’exposant élevée à une puissance, vous pouvez simplifier en multipliant la puissance extérieure sur la puissance intérieure :
( xm ) n = x m n
Si vous avez un produit à l’intérieur des parenthèses, et une puissance sur les parenthèses, alors la puissance va sur chaque élément à l’intérieur. Par exemple :
(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2)
= (xxx)(y2y2y2)
= (xxx)(yyyyyy)
= x3y6
= (x)3(y2)3
Un autre exemple serait :
Avertissement : Cette règle ne fonctionne PAS si vous avez une somme ou une différence entre les parenthèses. Les exposants, contrairement à la mulitiplication, ne se « distribuent » PAS sur l’addition.
Par exemple, étant donné (3 + 4)2, ne succombez PAS à la tentation de dire : « Hé, c’est égal à 32 + 42 = 9 + 16 = 25 », car c’est faux. En fait, (3 + 4)2 = (7)2 = 49, et non 25.
En cas de doute, écrivez l’expression selon la définition de la puissance. Par exemple, étant donné (x – 2)2, n’essayez pas de le faire dans votre tête. Au lieu de cela, écrivez-le ; « au carré » signifie « multiplier deux copies de », donc :
(x – 2)2 = (x – 2)(x – 2)
= x(x – 2) – 2(x – 2)
= xx – 2x – 2x + 4
= x2 – 4x + 4.
L’erreur consistant à vouloir par erreur » distribuer » l’exposant est le plus souvent commise lorsque l’élève essaie de tout faire dans sa tête, au lieu de montrer son travail. Faites les choses proprement, et vous ne serez pas aussi susceptible de faire cette erreur.
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Simplifier (a2 b3 c)4
Maintenant que je connais la règle des puissances sur les puissances, je peux faire passer le 4 sur chacun des facteurs à l’intérieur. (Je devrai me rappeler que, avec le c, à l’intérieur des parenthèses, c’est » à la puissance 1 « .)
(a2)4 (b3)4 (c1)4
= (a2×4) (b3×4) (c1×4)
= a8 b12 c4
Affilié
Il y a une autre règle qui peut ou non être abordée dans votre cours à ce stade :
Tout ce qui est à la puissance zéro est juste « 1 » (tant que le « tout » n’est pas lui-même zéro).
Cette règle est expliquée à la page suivante. En pratique, cependant, cette règle signifie que certains exercices peuvent être beaucoup plus faciles qu’il n’y paraît au premier abord :
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Simplifier 0
Qui se soucie de ces trucs à l’intérieur des crochets ? Moi en tout cas pas, car la puissance zéro à l’extérieur signifie que la valeur de l’ensemble est juste 1. Ha !
0 = 1
Affiliate
Au fait, dès que votre cours abordera « à la puissance zéro », attendez-vous à un exercice comme celui ci-dessus au prochain test. C’est une question piège commune, conçue pour vous faire perdre beaucoup de votre temps limité – mais elle ne fonctionne que si vous ne faites pas attention.
Vous pouvez utiliser le widget Mathway ci-dessous pour vous entraîner à simplifier des expressions avec des exposants. Essayez l’exercice saisi, ou tapez votre propre exercice. Cliquez ensuite sur le bouton pour comparer votre réponse à celle de Mathway. (Vous pouvez aussi ignorer le widget et poursuivre la leçon, ou revoir des tas d’exemples travaillés ici.)
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