Tables de vérité
Parce que les énoncés booléens complexes peuvent devenir délicats à penser, nous pouvons créer une table de vérité pour garder une trace des valeurs de vérité des énoncés simples qui rendent l’énoncé complexe vrai et faux
Table de vérité
Tableau montrant quelle est la valeur de vérité résultante d’un énoncé complexe pour toutes les valeurs de vérité possibles des énoncés simples.
Exemple 1
Supposons que vous choisissiez un nouveau canapé, et que votre moitié vous dise » prends un sectionnel ou quelque chose avec une chaise « .
C’est un énoncé complexe composé de deux conditions plus simples : « est un sectionnel », et « a une chaise longue ». Pour simplifier, utilisons S pour désigner « est un sectionnel », et C pour désigner « a une chaise ». La condition S est vraie si le canapé est un sectionnel.
Une table de vérité pour cela ressemblerait à ceci :
| S | C | S ou C. | |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | F | T | T | T | T | F | F | F | F |
Dans le tableau, T est utilisé pour vrai, et F pour faux. Dans la première ligne, si S est vrai et que C est également vrai, alors l’énoncé complexe « S ou C » est vrai. Il s’agirait d’un canapé sectionnel qui possède également une chaise, ce qui répond à notre désir.
Rappellez-vous également que ou en logique n’est pas exclusif ; si le canapé possède les deux caractéristiques, il répond à la condition.
Pour raccourcir davantage notre notation, nous allons introduire certains symboles couramment utilisés pour et, ou, et non.
Symboles
Le symbole ⋀ est utilisé pour et : A et B est noté A ⋀ B.
Le symbole ⋁ est utilisé pour ou : A ou B est noté A ⋁ B
Le symbole ~ est utilisé pour not : not A est noté ~A
Vous pouvez vous souvenir des deux premiers symboles en les associant aux formes de l’union et de l’intersection. A ⋀ B serait les éléments qui existent dans les deux ensembles, dans A ⋂ B. De même, A ⋁ B serait les éléments qui existent dans l’un ou l’autre ensemble, dans A ⋃ B.
Dans l’exemple précédent, la table de vérité ne faisait en fait que résumer ce que nous savons déjà sur le fonctionnement de l’instruction ou. Les tables de vérité pour les énoncés de base and, or et not sont présentées ci-dessous.
Tables de vérité de base
| A | B | A ⋀ B |
|---|---|---|
| T | T | T | F | F | F | T | F | F | F |
iv
| A | B | A ⋁ B | |
|---|---|---|---|
| T | T | T | |
| T | T | F | T | F | T | T | F | F | F | F |
| A | ~A |
|---|---|
| T | F | F | T |
Les tableaux de vérité deviennent vraiment utiles lorsqu’on analyse des énoncés booléens plus complexes.
Exemple 2
Créer une table de vérité pour l’énoncé A ⋀ ~(B ⋁ C)
Il est utile de travailler de l’intérieur vers l’extérieur lors de la création de tables de vérité, et de créer des tables pour les opérations intermédiaires. Nous commençons par énumérer toutes les combinaisons de valeurs de vérité possibles pour A, B et C. Remarquez comment la première colonne contient 4 Ts suivis de 4 F, la deuxième colonne contient 2 Ts, 2 F, puis se répète, et la dernière colonne alterne. Ce schéma permet de s’assurer que toutes les combinaisons sont prises en compte. En même temps que ces valeurs initiales, nous allons énumérer les valeurs de vérité de l’expression la plus interne, B ⋁ C.
| A | B | C | B ⋁ C | |
| T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | T | T | T | T | T | T | T | T | T | F | F | F |
| F | T | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | T | F | F | F |
Après cela, nous pouvons trouver la négation de B ⋁ C, en travaillant à partir de la colonne B ⋁ C que nous venons de créer.
| A | B | C | B ⋁ C | ~(B ⋁ C) | ||||||||||
| T | T | T | T | T | F | T | T | F | T | F | T | T | T | T | T | F | T | T | F | T | F | F | F | F | T |
| F | T | T | F | |||||||||||
| F | F | T | T | T | F | F | F | F | T… | F | T | T | F | |
| F | F | F | T |
Enfin, nous trouvons les valeurs de A et de ~(B ⋁ C)
| A | B | C | B ⋁ C | ~(B ⋁ C) | A ⋀ ~(B ⋁ C) | T | T | T | T | T | F | F | T | T | F | F | F | F | . |
| T | F | T | T | F | F | T | F | F | F | F | T | T | F | T | T | T | F | F |
| F | T | F | T | F | F | |
| F | F | T | T | F | F | |
| F | F | T | F | F |
Il s’avère que cette expression complexe n’est vraie que dans un seul cas : si A est vrai, B est faux et C est faux.
Lorsque nous avons discuté des conditions précédemment, nous avons discuté du type où nous prenons une action en fonction de la valeur de la condition. Nous allons maintenant parler d’une version plus générale d’une condition, parfois appelée implication.
Implications
Les implications sont des phrases conditionnelles logiques indiquant qu’une déclaration p, appelée antécédent, implique une conséquence q.
Les implications sont communément écrites sous la forme p → q
Les implications sont similaires aux énoncés conditionnels que nous avons examinés précédemment ; p → q est typiquement écrit sous la forme » si p alors q « , ou » p donc q. » La différence entre les implications et les conditionnelles est que les conditionnelles dont nous avons parlé précédemment suggèrent une action – si la condition est vraie, alors nous prenons une certaine action en conséquence. Les implications sont un énoncé logique qui suggère que la conséquence doit logiquement suivre si l’antécédent est vrai.
Exemple 3
L’énoncé anglais « If it is raining, then there are clouds in the sky » est une implication logique. C’est un argument valide car si l’antécédent » il pleut » est vrai, alors la conséquence » il y a des nuages dans le ciel » doit également être vraie.
Notez que l’énoncé ne nous dit rien de ce à quoi il faut s’attendre s’il ne pleut pas. Si l’antécédent est faux, alors l’implication devient non pertinente.
Exemple 4
Un ami vous dit que « si tu télécharges cette photo sur Facebook, tu vas perdre ton emploi. » Il y a quatre issues possibles :
- Vous téléchargez la photo et gardez votre emploi
- Vous téléchargez la photo et perdez votre emploi
- Vous ne téléchargez pas la photo et gardez votre emploi
- Vous ne téléchargez pas la photo et perdez votre emploi
Il n’y a qu’un seul cas possible où votre ami a menti – la première option où vous téléchargez la photo et gardez votre emploi. Dans les deux derniers cas, votre ami n’a rien dit sur ce qui se passerait si vous ne téléchargiez pas la photo, donc vous ne pouvez pas conclure que leur déclaration n’est pas valide, même si vous n’avez pas téléchargé la photo et que vous avez quand même perdu votre emploi.
En logique traditionnelle, une implication est considérée comme valide (vraie) tant qu’il n’y a pas de cas dans lesquels l’antécédent est vrai et la conséquence est fausse. Il est important de garder à l’esprit que la logique symbolique ne peut pas rendre compte de toutes les subtilités de la langue anglaise.
Valeurs de vérité pour les implications
| p | q | . p → q |
| T | T | T | T | F | F | F | Td>T | T | T | F | F | T |
Exemple 5
Construire une table de vérité pour l’énoncé (m ⋀ ~p) → r
On commence par construire une table de vérité pour l’antécédent.
| m | p | ~p | m ⋀ ~p |
| T | T | F | F | T | F | T | T | T | F | F | F | F | F | F | T | F |
Maintenant nous pouvons construire la table de vérité pour l’implication
| m | p | ~p | m ⋀ ~p | r | (m ⋀ ~p) → r | ||
| T | T | F | F | T | T | T | F | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F | T | T |
| F | T | F | T | T | T | T | T | T | F | F | F | F | T |
| T | F | T | T | F | F | F | T | F | F | F | F | F | T |
| F | F | T | F | T |
Dans ce cas, lorsque m est vrai, p est faux, et r est faux, alors l’antécédent m ⋀ ~p sera vrai mais la conséquence fausse, ce qui donne une implication invalide ; tous les autres cas donnent une implication valide.
Pour toute implication, il existe trois énoncés connexes, le contraire, l’inverse et le contrapositif.
Énoncés connexes
L’implication originale est « si p alors q » : p → q
Le contraire est « si q alors p » : q → p
L’inverse est « si pas p alors pas q » : ~p → ~q
La contrapositive est « si pas q alors pas p » : ~q → ~p
Exemple 6
Considérons à nouveau l’implication valide « S’il pleut, alors il y a des nuages dans le ciel. »
L’inverse serait « S’il y a des nuages dans le ciel, il pleut. » Ce n’est certainement pas toujours vrai.
L’inverse serait « S’il ne pleut pas, alors il n’y a pas de nuages dans le ciel. » De même, ce n’est pas toujours vrai.
La contrapositive serait « S’il n’y a pas de nuages dans le ciel, alors il ne pleut pas. » Cet énoncé est valide, et est équivalent à l’implication originale.
En regardant les tables de vérité, nous pouvons voir que la conditionnelle originale et la contrapositive sont logiquement équivalentes, et que la converse et l’inverse sont logiquement équivalentes.
| Implication | Converse | Inverse | Contrapositive | ||
|---|---|---|---|---|---|
| p | q | p → q | q → p | ~p → ~q | ~q → ~p |
| T | T | T | T | T | T | T | F | F | T | T | F | F | T | T | T | F | F | T | T | F | F | F | F | T | T | T | T |
Equivalence
Un énoncé conditionnel et sa contrapositive sont logiquement équivalents.
Le contraire et l’inverse d’un énoncé sont logiquement équivalents.
Arguments
Un argument logique est une affirmation selon laquelle un ensemble de prémisses soutient une conclusion. Il existe deux types généraux d’arguments : les arguments inductifs et déductifs.
Types d’arguments
Un argument inductif utilise une collection d’exemples spécifiques comme prémisses et les utilise pour proposer une conclusion générale.
Un argument déductif utilise une collection d’énoncés généraux comme prémisses et les utilise pour proposer une situation spécifique comme conclusion.
Exemple 7
L’argument « quand je suis allé au magasin la semaine dernière, j’ai oublié mon sac à main, et quand j’y suis allé aujourd’hui, j’ai oublié mon sac à main. J’oublie toujours mon sac à main quand je vais au magasin » est un argument inductif.
Les prémisses sont :
J’ai oublié mon sac à main la semaine dernière
J’ai oublié mon sac à main aujourd’hui
La conclusion est :
J’oublie toujours mon sac à main
Notez que les prémisses sont des situations spécifiques, tandis que la conclusion est une déclaration générale. Dans ce cas, il s’agit d’un argument assez faible, puisqu’il ne repose que sur deux cas.
Exemple 8
L’argument » chaque jour depuis un an, un avion survole ma maison à 14 heures. Un avion survolera ma maison tous les jours à 14h » est un argument inductif plus fort, car il est basé sur un plus grand ensemble de preuves.
Evaluation des arguments inductifs
Un argument inductif n’est jamais capable de prouver que la conclusion est vraie, mais il peut fournir des preuves faibles ou fortes pour suggérer qu’elle peut être vraie.
De nombreuses théories scientifiques, telles que la théorie du big bang, ne peuvent jamais être prouvées. Au lieu de cela, elles sont des arguments inductifs soutenus par une grande variété de preuves. Habituellement, en science, une idée est considérée comme une hypothèse jusqu’à ce qu’elle ait été bien testée, à ce moment-là, elle est diplômée pour être considérée comme une théorie. Les théories scientifiques les plus connues, comme la théorie de la gravité de Newton, ont toutes résisté à des années de tests et de preuves, même si elles doivent parfois être ajustées sur la base de nouvelles preuves. Pour la gravité, cela s’est produit lorsque Einstein a proposé la théorie de la relativité générale.
Un argument déductif est plus clairement valide ou non, ce qui les rend plus faciles à évaluer.
Évaluer les arguments déductifs
Un argument déductif est considéré comme valide si toutes les prémisses sont vraies, et que la conclusion découle logiquement de ces prémisses. En d’autres termes, les prémisses sont vraies, et la conclusion découle nécessairement de ces prémisses.
Exemple 9
L’argument « Tous les chats sont des mammifères et un tigre est un chat, donc un tigre est un mammifère » est un argument déductif valide.
Les prémisses sont :
Tous les chats sont des mammifères
Un tigre est un chat
La conclusion est :
Un tigre est un mammifère
Les deux prémisses sont vraies. Pour voir que les prémisses doivent logiquement mener à la conclusion, une approche serait d’utiliser un diagramme de Venn. À partir de la première prémisse, nous pouvons conclure que l’ensemble des chats est un sous-ensemble de l’ensemble des mammifères. D’après la deuxième prémisse, on nous dit qu’un tigre se trouve dans l’ensemble des chats. De là, nous pouvons voir dans le diagramme de Venn que le tigre se trouve également dans l’ensemble des mammifères, donc la conclusion est valide.
Analyse des arguments avec les diagrammes de Venn
Pour analyser un argument avec un diagramme de Venn
- Dessinez un diagramme de Venn basé sur les prémisses de l’argument
- Si les prémisses sont insuffisantes pour déterminer ce qui détermine l’emplacement d’un élément, indiquez-le.
- L’argument est valide s’il est clair que la conclusion doit être vraie
Exemple 10
Premisse : Tous les pompiers connaissent la réanimation cardio-pulmonaire
Premisse : Jill connaît la réanimation cardio-pulmonaire
Conclusion : Jill est un pompier
D’après la première prémisse, nous savons que les pompiers se trouvent tous à l’intérieur de l’ensemble de ceux qui connaissent la RCP. À partir de la deuxième prémisse, nous savons que Jill est un membre de cet ensemble plus grand, mais nous n’avons pas assez d’informations pour savoir si elle est aussi un membre du sous-ensemble plus petit que sont les pompiers.
Puisque la conclusion ne découle pas nécessairement des prémisses, c’est un argument invalide, indépendamment du fait que Jill soit effectivement un pompier.
Il est important de noter que le fait que Jill soit réellement un pompier ou non n’est pas important pour évaluer la validité de l’argument ; nous nous préoccupons uniquement de savoir si les prémisses sont suffisantes pour prouver la conclusion.
En plus de ces prémisses de style catégorique de la forme » tous les ___ « , » certains ____ » et » aucun ____ « , il est également courant de voir des prémisses qui sont des implications.
Exemple 11
Prémisse : Si vous vivez à Seattle, vous vivez à Washington.
Prémisse : Marcus ne vit pas à Seattle
Conclusion : Marcus ne vit pas à Washington
De la première prémisse, nous savons que l’ensemble des personnes qui vivent à Seattle est à l’intérieur de l’ensemble de celles qui vivent à Washington. D’après la deuxième prémisse, nous savons que Marcus ne se trouve pas dans l’ensemble de Seattle, mais nous n’avons pas suffisamment d’informations pour savoir si Marcus vit à Washington ou non. C’est un argument invalide.
Exemple 12
Considérons l’argument « Vous êtes un homme marié, donc vous devez avoir une femme. »
C’est un argument invalide, car il y a, au moins dans certaines parties du monde, des hommes qui sont mariés à d’autres hommes, donc la prémisse pas insuffisante pour impliquer la conclusion.
Certains arguments sont mieux analysés à l’aide de tables de vérité.
Exemple 13
Considérons l’argument :
Prémisse : Si tu as acheté du pain, alors tu es allé au magasin
Prémisse : Tu as acheté du pain
Conclusion : Tu es allé au magasin
Bien que cet exemple soit, on l’espère, assez évidemment un argument valide, nous pouvons l’analyser à l’aide d’une table de vérité en représentant symboliquement chacune des prémisses. Nous pouvons ensuite examiner l’implication que les prémisses ensemble impliquent la conclusion. Si la table de vérité est une tautologie (toujours vraie), alors l’argument est valide.
On fera en sorte que B représente « tu as acheté du pain » et S représente « tu es allé au magasin ». Alors l’argument devient :
Prémisse : B → S
Prémisse : B
Conclusion : S
Pour tester la validité, on regarde si la combinaison des deux prémisses implique la conclusion ; est-il vrai que → S ?
| B | S | B → S | (B→S) ⋀ B | → S | T | T | T | T | T | T | T | F | F | F | T |
| F | T | T | F | T | |
| F | F | T | T | F | T |
Puisque la table de vérité de → S est toujours vraie, c’est un argument valide.
Analyse des arguments à l’aide de tables de vérité
Pour analyser un argument à l’aide d’une table de vérité :
- Représenter chacune des prémisses de façon symbolique
- Créer un énoncé conditionnel, en joignant toutes les prémisses avec et pour former l’antécédent, et en utilisant la conclusion comme conséquent.
- Créer une table de vérité pour cet énoncé. Si elle est toujours vraie, alors l’argument est valide.
Exemple 14
Prémisse : Si je vais au centre commercial, alors j’achèterai un nouveau jean
Prémisse : Si j’achète un nouveau jean, j’achèterai une chemise pour aller avec
Conclusion : Si je suis allé au centre commercial, j’achèterai une chemise.
Laissons M = je vais au centre commercial, J = j’achète un jean, et S = j’achète une chemise.
Les prémisses et la conclusion peuvent être énoncées comme:
Premisse : M → J
Premisse : J → S
Conclusion : M → S
Nous pouvons construire une table de vérité pour → (M→S)
| M | J | S | M → J | J → S | (M→J) ⋀ (J→S) | M → S | → (M→S) | T | T | T | T | T | T | T | T | T | T | T | F | T | F | F | F | F | T |
| T | F | T | F | T | T | T | T | T | |
| T | F | F | F | T | F | F | T | ||
| F | T | T | T | T | T | T | T | T | T | F | T | F | F | F | T | T | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T | T | F | F | F | F | T | T | T | T | T |
D’après la table de vérité, nous pouvons voir que c’est un argument valide.
- Techniquement, il s’agit de cercles d’Euler ou de diagrammes d’Euler, et non de diagrammes de Venn, mais par souci de simplicité, nous continuerons à les appeler diagrammes de Venn. ↵
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