Lorsqu’il est utilisé en physique et en ingénierie, le théorème d’inversion de Fourier est souvent utilisé en supposant que tout « se comporte bien ». En mathématiques, de tels arguments heuristiques ne sont pas autorisés, et le théorème d’inversion de Fourier comprend une spécification explicite de la classe de fonctions qui est autorisée. Cependant, il n’y a pas de « meilleure » classe de fonctions à considérer, de sorte que plusieurs variantes du théorème d’inversion de Fourier existent, bien qu’avec des conclusions compatibles.
Fonctions de SchwartzModification
Le théorème d’inversion de Fourier est valable pour toutes les fonctions de Schwartz (en gros, les fonctions lisses qui décroissent rapidement et dont les dérivées décroissent toutes rapidement). Cette condition a l’avantage d’être une déclaration directe élémentaire sur la fonction (par opposition à l’imposition d’une condition sur sa transformée de Fourier), et l’intégrale qui définit la transformée de Fourier et son inverse sont absolument intégrables. Cette version du théorème est utilisée dans la preuve du théorème d’inversion de Fourier pour les distributions tempérées (voir ci-dessous).
Fonctions intégrables avec transformée de Fourier intégrableEdit
Le théorème d’inversion de Fourier est valable pour toutes les fonctions continues qui sont absolument intégrables (c’est-à-dire L 1 ( R n ) {\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})} ) avec transformée de Fourier absolument intégrable. Ceci inclut toutes les fonctions de Schwartz, et constitue donc une forme strictement plus forte du théorème que la précédente mentionnée. Cette condition est celle utilisée ci-dessus dans la section de l’énoncé.
Fonctions intégrables à une dimensionModifier
Lisse par morceaux ; une dimension F – 1 g ( x ) := lim R → ∞ ∫ – R R e 2 π i x ξ g ( ξ ) d ξ . {\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{-R}^{R}e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi .}
Alors pour tout x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} }
F – 1 ( F f ) ( x ) = 1 2 ( f ( x – ) + f ( x + ) ) , {\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)={\frac {1}{2}}(f(x_{-})+f(x_{+})),}
Un analogue en dimension supérieure de cette forme du théorème existe également, mais selon Folland (1992), il est « plutôt délicat et pas terriblement utile ».
Continue par morceaux ; une dimension
Si la fonction est absolument intégrable en une dimension (c’est-à-dire que f ∈ L 1 ( R ) {\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )} ) mais simplement continue par morceaux, alors une version du théorème d’inversion de Fourier tient toujours. Dans ce cas, l’intégrale de la transformée de Fourier inverse est définie à l’aide d’une fonction de coupure lisse plutôt que nette ; plus précisément, nous définissons
F – 1 g ( x ) := lim R → ∞ ∫ R φ ( ξ / R ) e 2 π i x ξ g ( ξ ) d ξ , φ ( ξ ) := e – ξ 2 . {\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} }\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\xi ^{2}.}
La conclusion du théorème est alors la même que pour le cas lisse par morceaux discuté plus haut.
Continu ; un nombre quelconque de dimensions
Si f {\displaystyle f} est continu et absolument intégrable sur R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} alors le théorème d’inversion de Fourier tient toujours tant que nous définissons à nouveau la transformée inverse avec une fonction de coupure lisse c’est-à-dire.e.
F – 1 g ( x ) := lim R → ∞ ∫ R n φ ( ξ / R ) e 2 π i x ⋅ ξ g ( ξ ) d ξ , φ ( ξ ) := e – | ξ | 2 . {\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\vert \xi \vert ^{2}.}
La conclusion est maintenant simplement que pour tout x ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}.
F – 1 ( F f ) ( x ) = f ( x ) . {\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).} Pas de condition de régularité ; nombre de dimensions quelconque
Si nous abandonnons toutes les hypothèses sur la continuité (par morceaux) de f {\displaystyle f} et supposons simplement qu’elle est absolument intégrable, alors une version du théorème tient toujours. La transformée inverse est à nouveau définie avec la coupure lisse, mais avec la conclusion que
F – 1 ( F f ) ( x ) = f ( x ) {\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}.
pour presque tout x ∈ R n . {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}.}
Fonctions intégrables carréesEdit
Dans ce cas, la transformée de Fourier ne peut pas être définie directement comme une intégrale puisqu’elle peut ne pas être absolument convergente, elle est donc plutôt définie par un argument de densité (voir l’article sur la transformée de Fourier). Par exemple, en mettant
g k ( ξ ) := ∫ { y ∈ R n : | y | ≤ k } e – 2 π i y ⋅ ξ f ( y ) d y , k ∈ N , {\displaystyle g_{k}(\xi ):=\int _{\{y{ dans \mathbb {R} ^{n} :\left\vert y\right\vert \leq k\}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,\qquad k\in \mathbb {N} ,} f ( x ) = F ( F – 1 f ) ( x ) = F – 1 ( F f ) ( x ) {\displaystyle f(x)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x)={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}
dans la norme moyenne quadratique. En une dimension (et une seule), on peut aussi montrer qu’elle converge pour presque tout x∈ℝ- c’est le théorème de Carleson, mais il est beaucoup plus difficile à prouver que la convergence dans la norme moyenne au carré.
Distribution tempérée
⟨ F f , φ ⟩ := ⟨ f , F φ ⟩ , {\displaystyle \langle {\mathcal {F}}f,\varphi \rangle :=\langle f,{\mathcal {F}\varphi \rangle ,} F F – 1 = F – 1 F = Id S ′ ( R n ) . {\displaystyle {\mathcal {F}}{\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}={\i1}opérateur de nom {Id} _{{{mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}.}