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Sezione 6-2: Funzioni logaritmiche
In questa sezione dobbiamo ora passare alle funzioni logaritmiche. Questa può essere una funzione difficile da rappresentare subito. Ci sarà una notazione diversa a cui non siete abituati e alcune delle proprietà potrebbero non essere molto intuitive. Non scoraggiatevi però. Una volta che le avrete capite, scoprirete che non sono poi così male e di solito ci vuole solo un po’ di lavoro per capirle.
Qui c’è la definizione della funzione logaritmo.
Se \(b\) è un qualsiasi numero tale che \(b > 0\) e \(b \ne 1\) e \(x > 0\) allora,
\
Di solito lo leggiamo come “log base \(b\) di \(x\)”.
In questa definizione \(y = {log _b}x\) è chiamata forma logaritmica e \({b^y} = x\) è chiamata forma esponenziale.
Nota che il requisito che \(x > 0\) è in realtà un risultato del fatto che stiamo anche richiedendo \(b > 0\). Se ci pensate, avrà senso. Stiamo elevando un numero positivo a un esponente e quindi non c’è modo che il risultato possa essere altro che un altro numero positivo. È molto importante ricordare che non possiamo prendere il logaritmo di zero o di un numero negativo. Innanzitutto, la parte “log” della funzione è semplicemente tre lettere che vengono usate per denotare il fatto che abbiamo a che fare con un logaritmo. Non sono variabili e non significano moltiplicazione. Sono lì solo per dirci che abbiamo a che fare con un logaritmo.
In seguito, il \(b)\ che è pedice nella parte “log” è lì per dirci qual è la base, poiché questa è un’informazione importante. Inoltre, nonostante quello che potrebbe sembrare, non c’è alcuna esponenziazione nella forma del logaritmo di cui sopra. Potrebbe sembrare che abbiamo \({b^x}} in quella forma, ma non è così. Sembra solo che potrebbe essere quello che sta succedendo.
È importante mantenere la notazione con i logaritmi, altrimenti sarà molto difficile capirli e lavorarci.
Ora, diamo un’occhiata veloce a come si valutano i logaritmi.
- ({\log _4}16\)
- ({log _2}16\)
- ({log _6}216\)
- (\displaystyle {log _5}frac{1}{{125}})
- ({log _{frac{1}{3}}81})
- (\log _{frac{3}{2}}}displaystyle \frac{27}{8})
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Ora, la realtà è che valutare direttamente i logaritmi può essere un processo molto difficile, anche per chi li capisce davvero. Di solito è molto più facile convertire prima la forma logaritmica in forma esponenziale. In questa forma possiamo di solito ottenere la risposta abbastanza velocemente.
a \({log _4}16\) Mostra soluzione
Okay quello che stiamo veramente chiedendo qui è il seguente.
Come suggerito sopra, convertiamo questo in forma esponenziale.
\p>
La maggior parte delle persone non può valutare il logaritmo \({\log _4}16\) così su due piedi. Tuttavia, la maggior parte delle persone può determinare l’esponente di cui abbiamo bisogno su 4 per ottenere 16 una volta fatta l’esponenziazione. Quindi, dato che,
\
dobbiamo avere il seguente valore del logaritmo.
\div>
b \({\log _2}16\) Mostra la soluzione
Questa è simile alla parte precedente. Prima convertiamo in forma esponenziale.
\\p>
Se non conosci la risposta così su due piedi, inizia a provare con i numeri. In altre parole, calcola \(2^2), \(2^3), \(2^4), ecc. finché non ottieni 16. In questo caso abbiamo bisogno di un esponente di 4. Pertanto, il valore di questo logaritmo è,
\p>
Prima di passare alla parte successiva, nota che la base di questi è un pezzo di notazione molto importante. Cambiare la base cambierà la risposta e quindi dobbiamo sempre tenere traccia della base.
c \({\log _6}216\) Show Solution
Lo faremo senza nessuna vera spiegazione per vedere quanto bene hai imparato la valutazione dei logaritmi.
\div>
d \(\displaystyle {\log _5}\frac{1}{125}}) Show Solution
Ora, questa sembra diversa dalle parti precedenti, ma in realtà non è diversa. Come sempre convertiamo prima in forma esponenziale.
\
Prima di tutto, notate che l’unico modo in cui possiamo elevare un intero a una potenza intera e ottenere una frazione come risposta è che l’esponente sia negativo. Quindi, sappiamo che l’esponente deve essere negativo.
Ora, ignoriamo la frazione per un secondo e chiediamoci \({5^?} = 125\). In questo caso, se cubettiamo 5 otterremo 125.
Così, sembra che abbiamo quanto segue,
\div>
e \({\log _{frac{1}{3}}81\) Show Solution
Convertendo questo logaritmo in forma esponenziale si ottiene,
\
Ora, proprio come la parte precedente, l’unico modo in cui questo funziona è se l’esponente è negativo. Allora tutto quello che dobbiamo fare è riconoscere che \({3^4} = 81\) e possiamo vedere che,
\
f \({\log _{frac{3}{2}}} \displaystyle \frac{27}{8}) Show Solution
Ecco la risposta a questo.
Spero che ora tu abbia un’idea di come valutare i logaritmi e che stia iniziando a comprendere la notazione. Ci sono alcune altre valutazioni che vogliamo fare, tuttavia, abbiamo bisogno di introdurre alcuni logaritmi speciali che si verificano molto regolarmente. Sono il logaritmo comune e il logaritmo naturale. Ecco le definizioni e le notazioni che useremo per questi due logaritmi.
\
Quindi, il logaritmo comune è semplicemente il log in base 10, eccetto che lasciamo perdere la parte “base 10” della notazione. Allo stesso modo, il logaritmo naturale è semplicemente il log base \(\bf{e}} con una notazione diversa e dove \(\bf{e}}) è lo stesso numero che abbiamo visto nella sezione precedente ed è definito come \({bf{e}} = 2.718281828 \ldots \).
Diamo un’occhiata ad un altro paio di valutazioni.
- (\log 1000\)
- (\log \displaystyle \frac{1}{100}})
- (\ln \displaystyle \frac{1}{{{bf{e}}})
- (\ln \sqrt {\bf{e}})
- ({\log _{34}34})
- ({\log _8}1})
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Per fare le prime quattro valutazioni abbiamo solo bisogno di ricordare quale sia la notazione per queste e quale base sia implicita nella notazione. Le ultime due valutazioni servono ad illustrare alcune delle proprietà di tutti i logaritmi che vedremo alla fine.
a \(\log 1000\) Show Solution
\(\log 1000 = 3\) perché \({10^3} = 1000\).
b \(\log \displaystyle \frac{1}{100}}) Show Solution
(\log \frac{1}{100}} = – 2\) perché \({10^{ – 2}} = \frac{1}{{{{10}^2}} = \frac{1}{100}}).
c \(\ln \displaystyle \frac{1}}{\bf{e}}) Show Solution
(\ln \frac{1}{\bf{e}} = – 1\) perché \({\bf{e}}^{ – 1}} = \frac{1}{\bf{e}}}.
d \(\ln \sqrt {\bf{e}} \ mostra la soluzione
(\ln \sqrt {\bf{e}} = \frac{1}{2}) perché \({{{bf{e}}^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {\bf{e}} \.) Notare che con questo in realtà stiamo solo riconoscendo un cambiamento di notazione dall’esponente frazionario alla forma radicale.
e \({\log _{34}34}) Mostra soluzione
({\log _{34}34 = 1\) perché \({34^1} = 34\). Nota che questo funzionerà indipendentemente dalla base che stiamo usando.
f \({\log _8}1\) Mostra Soluzione
({\log _8}1 = 0\) perché \({8^0} = 1\). Di nuovo, nota che la base che stiamo usando qui non cambierà la risposta.
Quindi, quando valutiamo i logaritmi tutto ciò che stiamo realmente chiedendo è quale esponente abbiamo messo sulla base per ottenere il numero nel logaritmo.
Ora, prima di addentrarci in alcune delle proprietà dei logaritmi, facciamo un paio di grafici veloci.
Questo esempio ha due scopi. Primo, ci farà familiarizzare con i grafici dei due logaritmi che molto probabilmente vedremo in altre lezioni. Inoltre, ci darà un po’ di pratica nell’uso della nostra calcolatrice per valutare questi logaritmi, perché in realtà è così che dovremo fare la maggior parte di queste valutazioni.
Qui c’è una tabella di valori per i due logaritmi.
| \(x\) | (\log x\) | \(\ln x\) | |
|---|---|---|---|
| (\frac{1}{2}) | -0.3010 | -0.6931 | |
| 1 | 0 | 0 | |
| 2 | 0.3010 | 0.6931 | |
| 3 | 0.4771 | 1.0986 | |
| 4 | 0.6021 | 1.3863 |
Ecco uno schizzo dei grafici di queste due funzioni.
Ora cominciamo a guardare alcune proprietà dei logaritmi. Inizieremo con alcune proprietà di valutazione di base.
Proprietà dei logaritmi
- ({\log _b}1 = 0\). Questo segue dal fatto che \({b^0} = 1\).
- ({\log _b}b = 1\). Questo segue dal fatto che \({b^1} = b\).
- ({\log _b}{b^x} = x\). Questo può essere generalizzato in \({\log _b}{b^{f\log _b} = f\left( x \right)}} = f\left( x \destra)\).
- ({b^{{{\log }_b}x} = x\). Questo può essere generalizzato a \({b^{{{{log }_b}f\left( x \right)}} = f\left( x \right)\).
Le proprietà 3 e 4 portano ad una bella relazione tra il logaritmo e la funzione esponenziale. Calcoliamo prima le seguenti composizioni di funzioni per \(f\sinistra( x \destra) = {b^x}} e \(g\sinistra( x \destra) = {log _b}x}.
\f32 = f\sinistra( {{{log }_b}x} \destra) = {b^{{{log }_b}x} = x \sinistra( {g \circ f} \destra)\sinistra( x \destra) & = g\sinistra = g\sinistra = {\log _b}{b^x} = x{align*}]
Ricordiamo dalla sezione sulle funzioni inverse che questo significa che le funzioni esponenziale e logaritmica sono inverse l’una all’altra. Questo è un bel fatto da ricordare all’occasione.
Dobbiamo anche dare la versione generalizzata delle proprietà 3 e 4 in termini di logaritmo naturale e comune, perché le vedremo occasionalmente nelle prossime due sezioni.
Ora, diamo un’occhiata ad alcune proprietà di manipolazione del logaritmo.
Altre proprietà dei logaritmi
- ({\log _b}left( {xy} \right) = {\log _b}x + {\log _b}y\)
- ({\log _b}left( {displaystyle \frac{x}{y} right) = {\log _b}x –
- ({log _b}left( {{x^r}} \destra) = r{\log _b}x\)
- Se \log _b}x = {log _b}y\) allora \(x = y\).
Non faremo nulla con l’ultima proprietà in questa sezione; è qui solo per completezza. Esamineremo questa proprietà in dettaglio in un paio di sezioni.
Le prime due proprietà elencate qui possono essere un po’ confuse all’inizio poiché da un lato abbiamo un prodotto o un quoziente all’interno del logaritmo e dall’altro lato abbiamo una somma o differenza di due logaritmi. Dovremo solo stare attenti a queste proprietà e assicurarci di usarle correttamente.
Inoltre, notate che non ci sono regole su come scomporre il logaritmo della somma o differenza di due termini. Per essere chiari su questo, notiamo quanto segue,
\
Fate attenzione con queste e non cercate di usarle perché semplicemente non sono vere.
Nota che tutte le proprietà date fino a questo punto sono valide sia per i logaritmi comuni che per quelli naturali. Semplicemente non le abbiamo scritte esplicitamente usando la notazione per questi due logaritmi, ma le proprietà sono comunque valide per loro
Ora, vediamo alcuni esempi di come usare queste proprietà.
- ({\log _4}} a sinistra( {{x^3}{y^5}} a destra)\)
- (\log _4}sinistra( {{x^3}{y^5}}}destra)
- (\ln \sqrt {xy} \li>
- (\log _3}sinistra( {displaystyle \frac{{{{\left( {x + y} destra)^2}}}}{{{x^2} + {y^2}}}} \destra)\)
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Le istruzioni qui possono essere un po’ fuorvianti. Quando diciamo semplificare intendiamo dire che vogliamo usare il maggior numero possibile di proprietà dei logaritmi.
a \({\log _4}\left( {{x^3}{y^5}} right)\)Show Solution
Nota che non possiamo usare la proprietà 7 per portare il 3 e il 5 giù nella parte anteriore del logaritmo a questo punto. Per usare la Proprietà 7 l’intero termine del logaritmo deve essere elevato alla potenza. In questo caso i due esponenti sono solo su termini individuali nel logaritmo e quindi la proprietà 7 non può essere usata qui.
Abbiamo però un prodotto all’interno del logaritmo quindi possiamo usare la proprietà 5 su questo logaritmo.
\p>Ora che abbiamo fatto questo possiamo usare la proprietà 7 su ognuno di questi logaritmi individuali per ottenere la risposta semplificata finale. \div>
b \log \left( \displaystyle \frac{{x^9}{y^5}}{{{z^3}}}} \right)\) Show Solution
In questo caso abbiamo un prodotto e un quoziente nel logaritmo. In questi casi è quasi sempre meglio trattare il quoziente prima di trattare il prodotto. Ecco il primo passo di questa parte.
\
Ora, rompiamo il prodotto nel primo termine e una volta fatto questo ci occuperemo degli esponenti sui termini.
\div>
c \(\ln \sqrt {xy} \) Show Solution
Per questa parte riscriviamo un po’ il logaritmo in modo da poter vedere il primo passo.
\
Scritto in questa forma possiamo vedere che c’è un solo esponente su tutto il termine e quindi ci occuperemo prima di quello.
\
Ora, ci occuperemo del prodotto.
\
Nota la parentesi in questa risposta. Il \frac{1}{2}\ moltiplica il logaritmo originale e quindi avrà anche bisogno di moltiplicare l’intero logaritmo “semplificato”. Pertanto, abbiamo bisogno di avere una serie di parentesi per assicurarci che questo venga fatto correttamente.
d \log _3}{{{2}} a sinistra( \displaystyle \frac{{{{{2} a sinistra( {x + y} a destra)}^2}}{{{{x^2} + {y^2}}}} \right)\) Mostra la soluzione
Prima ci occuperemo del quoziente in questo logaritmo.
\
Ora raggiungiamo il vero punto di questo problema. Il secondo logaritmo è il più semplificato possibile. Ricordate che non possiamo scomporre un logaritmo di una somma o di una differenza e quindi questo non può essere scomposto ulteriormente. Inoltre, possiamo trattare gli esponenti solo se il termine nel suo insieme è elevato all’esponente. Il fatto che entrambi i pezzi di questo termine siano al quadrato non ha importanza. Deve essere l’intero termine al quadrato, come nel primo logaritmo.
Quindi, possiamo semplificare ulteriormente il primo logaritmo, ma il secondo logaritmo non può più essere semplificato. Ecco la risposta finale per questo problema.
\
Ora, abbiamo bisogno di lavorare su alcuni esempi che vanno nella direzione opposta. Questa prossima serie di esempi è probabilmente più importante della precedente. Faremo questo tipo di lavoro sui logaritmi in un paio di sezioni.
- (7\log _{12}}}x + 2\log _{12}}y\)
- (3\log x – 6\log y\)
- (5\ln \left( {x + y} \right) – 2\ln y – 8\ln x\)
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L’istruzione che richiede un coefficiente di 1 significa che quando arriviamo a un logaritmo finale non dovrebbe esserci alcun numero davanti al logaritmo.
Nota anche che questi esempi useranno le proprietà 5 – 7 solo che le useremo al contrario. Avremo espressioni che assomigliano al lato destro della proprietà e useremo la proprietà per scriverle in modo che assomiglino al lato sinistro della proprietà.
a \(7{\log _{12}}x + 2{\log _{12}}y) Show Solution
Il primo passo qui è sbarazzarsi dei coefficienti sui logaritmi. Questo userà la proprietà 7 al contrario. In questa direzione, la Proprietà 7 dice che possiamo spostare il coefficiente di un logaritmo in alto per diventare una potenza sul termine all’interno del logaritmo.
Ecco il passo per questa parte.
Abbiamo ora una somma di due logaritmi entrambi con coefficienti di 1 ed entrambi con la stessa base. Questo significa che possiamo usare la proprietà 5 al contrario. Ecco la risposta per questa parte.
\div>
b \(3\log x – 6\log y\) Show Solution
Ancora una volta, ci occuperemo dei coefficienti dei logaritmi.
\p>
Ora abbiamo una differenza di due logaritmi e quindi possiamo usare la proprietà 6 inversa. Quando usiamo la proprietà 6 al contrario, ricordiamo che il termine del logaritmo che viene sottratto va nel denominatore del quoziente. Ecco la risposta a questa parte.
\div>
c \(5\ln \sinistra( {x + y} \destra) – 2\ln y – 8\ln x\) Mostra la soluzione
In questo caso abbiamo tre termini da trattare e nessuna delle proprietà ha tre termini. Questo non è un problema. Per prima cosa occupiamoci dei coefficienti e allo stesso tempo fattorizziamo il segno meno dagli ultimi due termini. La ragione di questo sarà evidente nel prossimo passo.
\
Ora, notate che la quantità nella parentesi è una somma di due logaritmi e quindi può essere combinata in un singolo logaritmo con un prodotto come segue,
\
Ora siamo scesi a due logaritmi e sono una differenza di logaritmi e quindi possiamo scrivere come un singolo logaritmo con un quoziente.
L’ultimo argomento che dobbiamo discutere in questa sezione è la formula del cambio di base.
La maggior parte delle calcolatrici oggigiorno sono in grado di valutare i logaritmi comuni e i logaritmi naturali. Tuttavia, questo è tutto, quindi cosa facciamo se abbiamo bisogno di valutare un altro logaritmo che non può essere fatto facilmente come abbiamo fatto nella prima serie di esempi che abbiamo visto?
Per fare questo abbiamo la formula del cambio di base. Ecco la formula del cambio di base.
\
dove possiamo scegliere \(b\) come vogliamo che sia. Per usarlo per aiutarci a valutare i logaritmi, questo è di solito il logaritmo comune o naturale. Ecco la formula del cambio di base usando sia il logaritmo comune che il logaritmo naturale.
\p>
Vediamo come funziona con un esempio.
Prima di tutto, notate che non possiamo usare lo stesso metodo per fare questa valutazione che abbiamo fatto nella prima serie di esempi. Questo ci richiederebbe di guardare la seguente forma esponenziale,
\p>
e questo non è qualcosa a cui chiunque può rispondere così su due piedi. Se il 7 fosse stato un 5, o un 25, o un 125, ecc. potremmo farlo, ma non è così. Pertanto, dobbiamo usare la formula del cambio di base.
Ora, possiamo usare entrambi e otterremo la stessa risposta. Quindi, usiamole entrambe e verifichiamo. Cominciamo con la forma di logaritmo comune del cambiamento di base.
\
Ora, proviamo la forma di logaritmo naturale della formula del cambiamento di base.
\p>Così, abbiamo ottenuto la stessa risposta nonostante il fatto che le frazioni implichino risposte diverse.