L’effetto Hall è dovuto alla natura della corrente in un conduttore. La corrente consiste nel movimento di molti piccoli portatori di carica, tipicamente elettroni, buchi, ioni (vedi Elettromigrazione) o tutti e tre. Quando è presente un campo magnetico, queste cariche sperimentano una forza, chiamata forza di Lorentz. Quando tale campo magnetico è assente, le cariche seguono percorsi approssimativamente rettilinei, ‘linea di vista’ tra le collisioni con impurità, fononi, ecc. Tuttavia, quando viene applicato un campo magnetico con una componente perpendicolare, i loro percorsi tra le collisioni sono curvi, quindi le cariche in movimento si accumulano su una faccia del materiale. Questo lascia cariche uguali e opposte esposte sull’altra faccia, dove c’è una scarsità di cariche mobili. Il risultato è una distribuzione asimmetrica della densità di carica attraverso l’elemento Hall, derivante da una forza che è perpendicolare sia al percorso della ‘linea di vista’ che al campo magnetico applicato. La separazione delle cariche stabilisce un campo elettrico che si oppone alla migrazione di ulteriori cariche, così si stabilisce un potenziale elettrico costante per tutto il tempo in cui la carica scorre.
Nell’elettromagnetismo classico gli elettroni si muovono nella direzione opposta della corrente I (per convenzione “corrente” descrive un teorico “flusso di buchi”). In alcuni metalli e semiconduttori sembra che i “buchi” stiano effettivamente scorrendo perché la direzione della tensione è opposta alla derivazione sottostante.
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Per un metallo semplice dove c’è un solo tipo di portatore di carica (elettroni), la tensione di Hall VH può essere derivata usando la forza di Lorentz e vedendo che, nella condizione di stato stazionario, le cariche non si muovono nella direzione dell’asse y. Così, la forza magnetica su ogni elettrone nella direzione dell’asse y è annullata da una forza elettrica sull’asse y dovuta all’accumulo di cariche. Il termine vx è la velocità di deriva della corrente che, per convenzione, è assunta a questo punto come fori. Il termine vxBz è negativo nella direzione dell’asse y per la regola della mano destra.
F = q ( E + v × B ) {displaystyle \mathbf {F} =q{bigl (}mathbf {E} + \mathbf {v} \tempi \mathbf {B} {bigl )}
In stato stazionario, F = 0, quindi 0 = Ey – vxBz, dove Ey è assegnato nella direzione dell’asse y, (e non con la freccia del campo elettrico indotto ξy come nell’immagine (che punta nella direzione -y), che ti dice dove punta il campo causato dagli elettroni).
Nei fili scorrono gli elettroni invece dei buchi, quindi vx → -vx e q → -q. Anche Ey = -VH/w. Sostituendo questi cambiamenti si ottiene
V H = v x B z w {displaystyle V_{mathrm {H} V = v_{x}B_{z}w}
La convenzionale corrente di “buco” è nella direzione negativa della corrente degli elettroni e del negativo della carica elettrica che dà Ix = ntw(-vx)(-e) dove n è la densità dei portatori di carica, tw è l’area della sezione trasversale e -e è la carica di ogni elettrone. Risolvendo per w {displaystyle w}
e inserendo i dati di cui sopra si ottiene la tensione di Hall: V H = I x B z n t e {displaystyle V_{mathrm {H} {\frac {I_{x}B_{z}}{nte}}
Se l’accumulo di carica fosse stato positivo (come appare in alcuni metalli e semiconduttori), allora il VH assegnato nell’immagine sarebbe stato negativo (la carica positiva si sarebbe accumulata sul lato sinistro).
Il coefficiente di Hall è definito come
R H = E y j x B z {\displaystyle R_{mathrm {H} }={frac {E_{y}{j_{x}B_{z}}}}
dove j è la densità di corrente degli elettroni portanti, ed Ey è il campo elettrico indotto. In unità SI, questo diventa
R H = E y j x B = V H t I B = 1 n e . R_{mathrm {H} {\frac {E_{y}{j_{x}B}={frac {V_{mathrm {H} t}{IB}={frac {1}{ne}}.
(Le unità di RH sono solitamente espresse come m3/C, o Ω-cm/G, o altre varianti). Di conseguenza, l’effetto Hall è molto utile come mezzo per misurare la densità di portante o il campo magnetico.
Una caratteristica molto importante dell’effetto Hall è che differenzia tra cariche positive che si muovono in una direzione e cariche negative che si muovono in quella opposta. Nel diagramma qui sopra, viene presentato l’effetto Hall con un portatore di carica negativa (l’elettrone). Ma consideriamo che lo stesso campo magnetico e la stessa corrente sono applicati, ma la corrente è trasportata all’interno del dispositivo ad effetto Hall da una particella positiva. La particella dovrebbe ovviamente muoversi nella direzione opposta a quella dell’elettrone perché la corrente sia la stessa: in basso nel diagramma, non in alto come l’elettrone. E così, mnemonicamente parlando, il vostro pollice nella legge della forza di Lorentz, che rappresenta la corrente (convenzionale), punterebbe nella stessa direzione di prima, perché la corrente è la stessa: un elettrone che si muove verso l’alto è la stessa corrente di una carica positiva che si muove verso il basso. E dato che anche le dita (campo magnetico) sono le stesse, è interessante notare che il portatore di carica viene deviato a sinistra nel diagramma, indipendentemente dal fatto che sia positivo o negativo. Ma se i portatori positivi sono deviati a sinistra, costruirebbero una tensione relativamente positiva a sinistra, mentre se i portatori negativi (cioè gli elettroni) lo sono, costruiscono una tensione negativa a sinistra come mostrato nel diagramma. Così, a parità di corrente e di campo magnetico, la polarità della tensione di Hall dipende dalla natura interna del conduttore ed è utile per chiarire il suo funzionamento interno.
Questa proprietà dell’effetto Hall ha offerto la prima vera prova che le correnti elettriche nella maggior parte dei metalli sono portate da elettroni in movimento, non da protoni. Ha anche mostrato che in alcune sostanze (specialmente i semiconduttori di tipo p), è invece più appropriato pensare alla corrente come a “buchi” positivi in movimento piuttosto che a elettroni negativi. Una fonte comune di confusione con l’effetto Hall in tali materiali è che i buchi che si muovono in un modo sono in realtà elettroni che si muovono nel modo opposto, quindi ci si aspetta che la polarità della tensione Hall sia la stessa come se gli elettroni fossero i portatori di carica come nella maggior parte dei metalli e dei semiconduttori di tipo n. Eppure osserviamo la polarità opposta della tensione di Hall, che indica portatori di carica positivi. Tuttavia, naturalmente non ci sono positroni reali o altre particelle elementari positive che portano la carica nei semiconduttori di tipo p, da cui il nome “buchi”. Così come l’immagine troppo semplicistica della luce nel vetro come fotoni che vengono assorbiti e riemessi per spiegare la rifrazione si rompe ad un esame più attento, anche questa apparente contraddizione può essere risolta solo dalla moderna teoria meccanica quantistica delle quasiparticelle dove il movimento collettivo quantizzato di più particelle può, in un senso fisico reale, essere considerato come una particella a sé stante (anche se non elementare).
Inoltre, la disomogeneità nel campione conduttivo può provocare un segno spurio dell’effetto Hall, anche nella configurazione ideale di van der Pauw degli elettrodi. Per esempio, un effetto Hall coerente con portatori positivi è stato osservato in semiconduttori evidentemente di tipo n. Un’altra fonte di artefatti, in materiali uniformi, si verifica quando il rapporto di aspetto del campione non è abbastanza lungo: la tensione Hall completa si sviluppa solo lontano dai contatti che introducono corrente, poiché ai contatti la tensione trasversale è in cortocircuito a zero.
Effetto Hall nei semiconduttoriModifica
Quando un semiconduttore che trasporta corrente è tenuto in un campo magnetico, i portatori di carica del semiconduttore sperimentano una forza in una direzione perpendicolare sia al campo magnetico che alla corrente. All’equilibrio, una tensione appare ai bordi del semiconduttore.
La semplice formula per il coefficiente di Hall data sopra è di solito una buona spiegazione quando la conduzione è dominata da un singolo portatore di carica. Tuttavia, nei semiconduttori e in molti metalli la teoria è più complessa, perché in questi materiali la conduzione può coinvolgere contributi significativi e simultanei di elettroni e buchi, che possono essere presenti in concentrazioni diverse e avere mobilità diverse. Per campi magnetici moderati il coefficiente di Hall è
R H = p μ h 2 – n μ e 2 e ( p μ h + n μ e ) 2 {\displaystyle R_{\mathrm {H} {\frac {p\mu _{\mathrm {h} n\mu _{2}-n\mu _{mathrm {\mathrm {e} {{2}}{e(p\mu _{mathrm {h}+n\mu _{mathrm {e}})^{2}}}}
o equivalentemente
R H = p – n b 2 e ( p + n b ) 2 {displaystyle R_{\mathrm {H} }={\frac {p-nb^{2}}{e(p+nb)^{2}}}}
b={frac {p-nb^{2}}{e(p+nb)^{2}}}}con
b = μ e μ h . b={frac {mu _{mathrm {e} e, in questo caso, il valore di b è pari a quello di h. }}}.}
Qui n è la concentrazione di elettroni, p la concentrazione di buchi, μe la mobilità degli elettroni, μh la mobilità dei buchi ed e la carica elementare.
Per grandi campi applicati vale l’espressione più semplice analoga a quella per un singolo tipo di portatore.
Relazione con la formazione delle stelleModifica
Anche se è noto che i campi magnetici giocano un ruolo importante nella formazione delle stelle, i modelli di ricerca indicano che la diffusione di Hall influenza criticamente la dinamica del collasso gravitazionale che forma le protostelle.
Effetto Hall QuanticoModifica
Per un sistema bidimensionale di elettroni che può essere prodotto in un MOSFET, in presenza di una grande intensità di campo magnetico e di una bassa temperatura, si può osservare l’effetto Hall quantistico, in cui la conduttanza Hall σ subisce transizioni Hall quantistiche per assumere i valori quantizzati.
Effetto Spin HallModifica
L’effetto Spin Hall consiste nell’accumulo di spin sui confini laterali di un campione percorso da corrente. Non è necessario alcun campo magnetico. È stato previsto da Mikhail Dyakonov e V. I. Perel nel 1971 e osservato sperimentalmente più di 30 anni dopo, sia nei semiconduttori che nei metalli, sia a temperature criogeniche che a temperatura ambiente.
Effetto Hall di spin quanticoModifica
Per i pozzi quantici bidimensionali di tellururo di mercurio con forte accoppiamento spin-orbita, in campo magnetico zero, a bassa temperatura, l’effetto Hall di spin quantico è stato recentemente osservato.
Effetto Hall anomaloModifica
Nei materiali ferromagnetici (e nei materiali paramagnetici in un campo magnetico), la resistività Hall include un ulteriore contributo, noto come effetto Hall anomalo (o effetto Hall straordinario), che dipende direttamente dalla magnetizzazione del materiale, ed è spesso molto più grande dell’effetto Hall ordinario. (Si noti che questo effetto non è dovuto al contributo della magnetizzazione al campo magnetico totale). Per esempio, nel nichel, il coefficiente di Hall anomalo è circa 100 volte più grande del coefficiente di Hall ordinario vicino alla temperatura di Curie, ma i due sono simili a temperature molto basse. Sebbene sia un fenomeno ben riconosciuto, c’è ancora un dibattito sulle sue origini nei vari materiali. L’effetto Hall anomalo può essere sia un effetto estrinseco (legato al disordine) dovuto allo scattering spin-dipendente dei portatori di carica, sia un effetto intrinseco che può essere descritto in termini di effetto di fase Berry nello spazio di momento del cristallo (k-space).
Effetto Hall nei gas ionizzatiModifica
L’effetto Hall in un gas ionizzato (plasma) è significativamente diverso dall’effetto Hall nei solidi (dove il parametro Hall è sempre molto meno dell’unità). In un plasma, il parametro Hall può assumere qualsiasi valore. Il parametro di Hall, β, in un plasma è il rapporto tra la frequenza di girofrequenza degli elettroni, Ωe, e la frequenza di collisione tra elettroni e particelle pesanti, ν:
β = Ω e ν = e B m e ν {displaystyle \beta ={frac {Omega _{mathrm {e} ={frac {eB}{m_{mathrm {e}{mathrm {e} e’ un’idea che si basa su una serie di fattori, tra i quali l’importanza di un’azione di controllo.}
dove
- e è la carica elementare (circa 1,6×10-19 C)
- B è il campo magnetico (in tesla)
- me è la massa dell’elettrone (circa 9.1×10-31 kg).
Il valore del parametro Hall aumenta con l’intensità del campo magnetico.
Fisicamente, le traiettorie degli elettroni sono curvate dalla forza di Lorentz. Tuttavia, quando il parametro Hall è basso, il loro moto tra due incontri con particelle pesanti (neutri o ioni) è quasi lineare. Ma se il parametro Hall è alto, i movimenti degli elettroni sono molto curvi. Il vettore densità di corrente, J, non è più collineare con il vettore campo elettrico, E. I due vettori J ed E formano l’angolo di Hall, θ, che dà anche il parametro Hall:
β = tan ( θ ) . {\displaystyle \beta = tan(\theta ).}
