Regole di baseNegativeSci. Not’nEng. Not’nFractional
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Gli esponenti sono un’abbreviazione per moltiplicare ripetutamente la stessa cosa per se stessa. Per esempio, l’abbreviazione per la moltiplicazione di tre copie del numero 5 è indicata sul lato destro del segno “uguale” in (5)(5)(5) = 53. L'”esponente”, che è 3 in questo esempio, sta per quante volte il valore viene moltiplicato. La cosa che viene moltiplicata, essendo 5 in questo esempio, si chiama “base”.
Questo processo di utilizzo degli esponenti si chiama “elevazione a potenza”, dove l’esponente è la “potenza”. L’espressione “53” si pronuncia come “cinque, elevato alla terza potenza” o “cinque alla terza”.
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Ci sono due potenze dai nomi speciali: “alla seconda potenza” è generalmente pronunciato come “al quadrato”, e “alla terza potenza” è generalmente pronunciato come “al cubo”. Così “53” è comunemente pronunciato come “cinque al cubo”.
Quando abbiamo a che fare con i numeri, di solito ci limitiamo a semplificare; preferiamo avere a che fare con “27” che con “33”. Ma con le variabili, abbiamo bisogno degli esponenti, perché preferiamo avere a che fare con “x6” piuttosto che con “xxxxxx”.
Gli esponenti hanno alcune regole che possiamo usare per semplificare le espressioni.
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Semplificare (x3)(x4).
Per semplificare questo, posso pensare in termini di cosa significano quegli esponenti. “Alla terza” significa “moltiplicare tre copie” e “alla quarta” significa “moltiplicare quattro copie”. Usando questo fatto, posso “espandere” i due fattori, e poi lavorare a ritroso fino alla forma semplificata. Prima espando:
(x3)(x4) = (xxx)(xxxx)
Ora posso togliere le parentesi e mettere insieme tutti i fattori:
(xxx)(xxxx) = xxxxxxx
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Questo è sette copie della variabile. “Moltiplicare sette copie” significa “alla settima potenza”, quindi questo può essere riformulato come:
xxxxxxx = x7
Mettendo tutto insieme, i passi sono i seguenti:
(x3)(x4) = (xxx)(xxxx)
= xxxxxxx
= x7
Quindi la forma semplificata di (x3)(x4) è:
x7
Nota che x7 è anche uguale a x(3+4). Questo dimostra la prima regola di base degli esponenti:
Quando si moltiplicano due termini con la stessa base, si possono sommare gli esponenti:
( x m ) ( x n ) = x( m + n )
Tuttavia, NON possiamo semplificare (x4)(y3), perché le basi sono diverse: (x4)(y3) = xxxxyyy = (x4)(y3). Niente si combina.
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Semplificare (a5 b3) (a b7).
Ora che conosco la regola (cioè che posso sommare le potenze sulla stessa base), posso iniziare a spostare le basi per avere tutte le basi uguali una accanto all’altra:
(a5 b3) (a b7) = (a5) (a) (b3) (b7)
Affiliazione
Ora voglio aggiungere le potenze sulle a e sulle b. Tuttavia, la seconda a non sembra avere una potenza. Cosa aggiungo per questo termine?
Tutto ciò che non ha potenze, in senso tecnico, è “elevato alla potenza 1”. Qualsiasi cosa alla potenza 1 è solo se stessa, poiché sta “moltiplicando una copia” di se stessa. Quindi l’espressione sopra può essere riscritta come:
(a5) (a) (b3) (b7) = (a5) (a1) (b3) (b7)
Ora posso combinare:
(a5) (a1) (b3) (b7) = a5+1 b3+7 = a6 b10
Mettendo tutto insieme, il mio lavoro a mano sarebbe così:
(a5 b3) (a b7) = (a5 a1) (b3 b7) =
a6 b10
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Nel seguente esempio, ci sono due potenze, con una potenza che è “dentro” l’altra, in un certo senso.
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Semplificare (x2)4
Per fare la semplificazione, posso iniziare a pensare in termini di significato degli esponenti. Il “alla quarta” all’esterno significa che sto moltiplicando quattro copie di qualsiasi base sia all’interno delle parentesi. In questo caso, la base della quarta potenza è x2. Moltiplicando quattro copie di questa base mi dà:
(x2)4 = (x2)(x2)(x2)(x2)(x2)
Ogni fattore nella precedente espansione sta “moltiplicando due copie” della variabile. Questo si espande come:
(x2)(x2)(x2)(x2) = (xx)(xx)(xx)(xx)
Rimuovendo le parentesi, si ottiene:
(xx)(xx)(xx)(xx) = xxxxxxxx
Questa è una stringa di otto copie della variabile. “Moltiplicare otto copie” significa “all’ottava potenza”, quindi questo significa:
xxxxxxxx = x8
Mettendo tutto insieme:
(x2)4 = (x2)(x2)(x2)(x2)(x2)
= (xx)(xx)(xx)(xx)
= xxxxxxxx
= x8
Nota che (x2)4 = x8, e che 2 × 4 = 8. Questo dimostra la seconda regola dell’esponente:
Ogni volta che si ha un’espressione esponenziale elevata a una potenza, si può semplificare moltiplicando la potenza esterna sulla potenza interna:
( xm ) n = x m n
Se hai un prodotto dentro le parentesi, e una potenza sulle parentesi, allora la potenza va su ogni elemento all’interno. Per esempio:
(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2)
= (xxx)(y2y2y2)
= (xxx)(yyyyyy)
= x3y6
= (x)3(y2)3
Un altro esempio potrebbe essere:
Attenzione: Questa regola NON funziona se hai una somma o una differenza tra le parentesi. Gli esponenti, a differenza della moltiplicazione, NON si “distribuiscono” sull’addizione.
Per esempio, dato (3 + 4)2, NON cedete alla tentazione di dire: “Ehi, questo è uguale a 32 + 42 = 9 + 16 = 25”, perché questo è sbagliato. In realtà, (3 + 4)2 = (7)2 = 49, non 25.
In caso di dubbio, scrivi l’espressione secondo la definizione della potenza. Per esempio, dato (x – 2)2, non cercare di farlo a mente. Invece, scrivetelo; “al quadrato” significa “moltiplicare due copie di”, quindi:
(x – 2)2 = (x – 2)(x – 2)
= x(x – 2) – 2(x – 2)
= xx – 2x – 2x + 4
= x2 – 4x + 4.
L’errore di cercare erroneamente di “distribuire” l’esponente è fatto più spesso quando lo studente sta cercando di fare tutto nella sua testa, invece di mostrare il suo lavoro. Fate le cose in modo ordinato, e non avrete la stessa probabilità di commettere questo errore.
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Semplificare (a2 b3 c)4
Ora che conosco la regola delle potenze su potenze, posso portare il 4 su ciascuno dei fattori all’interno. (Dovrò ricordarmi che, con la c, dentro le parentesi è “alla potenza 1”.)
(a2)4 (b3)4 (c1)4
= (a2×4) (b3×4) (c1×4)
= a8 b12 c4
Affiliazione
C’è un’altra regola che può essere coperta o meno nella tua classe in questa fase:
Qualsiasi cosa alla potenza zero è solo “1” (a condizione che la “cosa” non sia essa stessa zero).
Questa regola è spiegata nella prossima pagina. In pratica, però, questa regola significa che alcuni esercizi possono essere molto più facili di quanto possano sembrare a prima vista:
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Semplificare 0
A chi interessa quella roba dentro le parentesi quadre? A me no di certo, perché la potenza zero all’esterno significa che il valore dell’intera cosa è solo 1. Ha!
0 = 1
Affiliato
A proposito, non appena la tua classe coprirà “alla potenza zero”, dovresti aspettarti un esercizio come quello sopra al prossimo test. E’ una comune domanda trabocchetto, progettata per farti perdere molto del tuo tempo limitato – ma funziona solo se non stai prestando attenzione.
Puoi usare il widget Mathway qui sotto per esercitarti a semplificare espressioni con esponenti. Prova l’esercizio inserito, o scrivi il tuo esercizio personale. Poi clicca sul pulsante per confrontare la tua risposta con quella di Mathway. (Oppure salta il widget e continua con la lezione, o rivedi un sacco di esempi lavorati qui.)
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