I postulati della geometria sono molto simili agli assiomi, alle verità evidenti e alle credenze della logica, della filosofia politica e delle decisioni personali. I cinque postulati della geometria euclidea definiscono le regole di base che governano la creazione e l’estensione delle figure geometriche con riga e compasso. Insieme ai cinque assiomi (o “nozioni comuni”) e alle ventitré definizioni all’inizio degli Elementi di Euclide, essi costituiscono la base per le ampie dimostrazioni fornite in questa magistrale compilazione della conoscenza geometrica greca antica. Sono le seguenti:
- Un segmento di linea retta può essere tracciato da qualsiasi punto a qualsiasi altro.
- Una linea retta può essere estesa a qualsiasi lunghezza finita.
- Un cerchio può essere descritto con qualsiasi punto dato come centro e qualsiasi distanza come raggio.
- Tutti gli angoli retti sono congruenti.
- Se una linea retta interseca altre due linee rette, e quindi rende i due angoli interni su un lato di essa insieme meno di due angoli retti, allora le altre linee rette si incontreranno in un punto se estese abbastanza lontano sul lato in cui gli angoli sono meno di due angoli retti.
Il Postulato 5, il cosiddetto Postulato delle Parallele è stato fonte di molto fastidio, probabilmente anche per Euclide, per essere così relativamente prolisso. I matematici hanno un peculiare senso dell’estetica che apprezza la semplicità derivante dalla semplicità, con le lunghe e complicate prove, equazioni e calcoli necessari per la certezza rigorosa fatti dietro le quinte, e avere una frase così lunga in mezzo ad altre affermazioni così dirette e intuitive sembra imbarazzante. Di conseguenza, molti matematici nel corso dei secoli hanno cercato di dimostrare i risultati degli Elementi senza usare il Postulato Parallelo, ma senza successo. Tuttavia, negli ultimi due secoli, sono state derivate varie geometrie non euclidee basate sull’uso dei primi quattro postulati euclidei insieme a varie negazioni del quinto.