Tabelle di verità
Perché le affermazioni booleane complesse possono diventare difficili da pensare, possiamo creare una tabella di verità per tenere traccia di quali valori di verità per le affermazioni semplici rendono l’affermazione complessa vera e falsa
Tabella di verità
Una tabella che mostra qual è il valore di verità risultante di un’affermazione complessa per tutti i possibili valori di verità delle affermazioni semplici.
Esempio 1
Supponiamo che tu stia scegliendo un nuovo divano, e che il tuo partner ti dica “prendi un componibile o qualcosa con una chaise”
Questa è un’affermazione complessa fatta di due condizioni più semplici: “è un componibile” e “ha una chaise”. Per semplicità, usiamo S per indicare “è un componibile” e C per indicare “ha una chaise”. La condizione S è vera se il divano è un componibile.
Una tabella di verità per questo sarebbe come questa:
| S | C | S o C | |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | T | |
| F | T | T | T |
| F | F | F |
Nella tabella, T è usato per vero e F per falso. Nella prima riga, se S è vero e anche C è vero, allora l’affermazione complessa “S o C” è vera. Questo sarebbe un sezionale che ha anche una chaise, che soddisfa il nostro desiderio.
Ricordate anche che o nella logica non è esclusivo; se il divano ha entrambe le caratteristiche, soddisfa la condizione.
Per abbreviare ulteriormente la nostra notazione, introdurremo alcuni simboli che sono comunemente usati per e, o, e non.
Simboli
Il simbolo ⋀ è usato per e: A e B si scrive A ⋀ B.
Il simbolo ⋁ si usa per or: A o B è annotato A ⋁ B
Il simbolo ~ è usato per non: non A è annotato ~A
Puoi ricordare i primi due simboli mettendoli in relazione con le forme per l’unione e l’intersezione. A ⋀ B sarebbero gli elementi che esistono in entrambi gli insiemi, in A ⋂ B. Allo stesso modo, A ⋁ B sarebbero gli elementi che esistono in entrambi gli insiemi, in A ⋃ B.
Nell’esempio precedente, la tabella di verità era in realtà solo un riassunto di ciò che già sappiamo su come funziona la dichiarazione o. Le tabelle di verità per le affermazioni di base and, or e not sono mostrate qui sotto.
Tabelle di verità di base
| A | B | A ⋀ B |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
| A | B | A ⋁ B | |
|---|---|---|---|
| T | T | T | |
| T | F | T | |
| F | T | T | T |
| F | F | F |
| A | ~A |
|---|---|
| T | F |
| F | T |
Le tabelle di verità diventano veramente utili quando si analizzano dichiarazioni booleane più complesse.
Esempio 2
Creiamo una tabella di verità per l’affermazione A ⋀ ~(B ⋁ C)
È utile lavorare dall’interno verso l’esterno quando si creano tabelle di verità, e creare tabelle per operazioni intermedie. Iniziamo elencando tutte le possibili combinazioni di valori di verità per A, B e C. Notate come la prima colonna contiene 4 T seguiti da 4 F, la seconda colonna contiene 2 T, 2 F, poi si ripete, e l’ultima colonna si alterna. Questo schema assicura che tutte le combinazioni siano considerate. Insieme a questi valori iniziali, elencheremo i valori di verità per l’espressione più interna, B ⋁ C.
| A | B | C | B ⋁ C | |
| T | T | T | T | |
| T | T | F | T | |
| T | F | T | T | T | T | F | F | F |
| F | T | T | T | |
| F | T | F | F | T |
| F | F | T | T | |
| F | F | F | F |
In seguito possiamo trovare la negazione di B ⋁ C, lavorando sulla colonna B ⋁ C che abbiamo appena creato.
| A | B | C | B ⋁ C | ~(B ⋁ C) | |||||||
| T | T | T | T | F | |||||||
| T | T | F | T | T | F | T | T | T | T | T | F | T | F | F | T |
| F | T | T | T | F | |||||||
| F | T | F | T | T | F | ||||||
| F | F | T | T | F | |||||||
| F | F | F | F | T |
Finalmente, troviamo i valori di A e ~(B ⋁ C)
| A | B | C | B ⋁ C | ~(B ⋁ C) | A ⋀ ~(B ⋁ C) | T | T | T | T | F | F |
| T | T | T | F | T | F | F |
| T | F | T | T | T | F | |
| T | F | F | F | F | T | T |
| F | T | T | T | T | F | F |
| F | T | F | T | F | F | |
| F | F | F | T | T | F | F |
| F | F | F | F | T | F |
Si scopre che questa espressione complessa è vera solo in un caso: se A è vero, B è falso e C è falso.
Quando abbiamo discusso delle condizioni prima, abbiamo discusso il tipo in cui si compie un’azione in base al valore della condizione. Ora parleremo di una versione più generale di una condizione, talvolta chiamata implicazione.
Implicazioni
Le implicazioni sono frasi logiche condizionali che affermano che un’affermazione p, chiamata antecedente, implica una conseguenza q.
Le implicazioni sono comunemente scritte come p → q
Le implicazioni sono simili alle affermazioni condizionali che abbiamo visto prima; p → q è tipicamente scritto come “se p allora q”, o “p quindi q”. La differenza tra implicazioni e condizionali è che i condizionali che abbiamo discusso prima suggeriscono un’azione – se la condizione è vera, allora compiamo qualche azione come risultato. Le implicazioni sono un’affermazione logica che suggerisce che la conseguenza deve logicamente seguire se l’antecedente è vero.
Esempio 3
L’affermazione inglese “Se sta piovendo, allora ci sono nuvole in cielo” è un’implicazione logica. È un argomento valido perché se l’antecedente “sta piovendo” è vero, allora anche la conseguenza “ci sono nuvole in cielo” deve essere vera.
Nota che l’affermazione non ci dice nulla su cosa aspettarci se non piove. Se l’antecedente è falso, allora l’implicazione diventa irrilevante.
Esempio 4
Un amico ti dice che “se carichi quella foto su Facebook, perderai il lavoro”. Ci sono quattro possibili risultati:
- Si carica la foto e si mantiene il lavoro
- Si carica la foto e si perde il lavoro
- Non si carica la foto e si mantiene il lavoro
- Non si carica la foto e si perde il lavoro
C’è solo un caso possibile in cui l’amico stava mentendo: la prima opzione in cui si carica la foto e si mantiene il lavoro. Negli ultimi due casi, il tuo amico non ha detto nulla su cosa sarebbe successo se non avessi caricato la foto, quindi non puoi concludere che la sua affermazione non è valida, anche se non hai caricato la foto e hai comunque perso il lavoro.
Nella logica tradizionale, un’implicazione è considerata valida (vera) finché non ci sono casi in cui l’antecedente è vero e la conseguenza è falsa. È importante tenere a mente che la logica simbolica non può catturare tutte le complessità della lingua inglese.
Valori di verità per le implicazioni
| p | q | p → q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Esempio 5
Costruiamo una tabella di verità per l’affermazione (m ⋀ ~p) → r
Iniziamo costruendo una tabella di verità per l’antecedente.
| m | p | ~p | m ⋀ ~p | ||
| T | T | F | F | ||
| T | F | T | T | T | |
| F | T | F | F | F | F |
Ora possiamo costruire la tabella di verità per l’implicazione
| m | p | ~p | m ⋀ ~p | r | (m ⋀ ~p) → r | |
| T | T | T | F | F | T | T |
| T | F | T | T | T | T | T |
| F | T | F | F | T | T | |
| F | F | T | F | T | T | |
| T | T | T | F | F | F | T |
| T | F | T | T | F | F | |
| F | T | T | F | F | F | T |
| F | F | T | F | F | T |
In questo caso, quando m è vero, p è falso e r è falso, allora l’antecedente m ⋀ ~p sarà vero ma la conseguenza falsa, risultando in un’implicazione non valida; ogni altro caso dà un’implicazione valida.
Per ogni implicazione, ci sono tre affermazioni correlate, la conversa, l’inverso e il contrapposto.
Azioni correlate
L’implicazione originale è “se p allora q”: p → q
La conversa è “se q allora p”: q → p
L’inverso è “se non p allora non q”: ~p → ~q
Il contrapposto è “se non q allora non p”: ~q → ~p
Esempio 6
Consideriamo ancora una volta l’implicazione valida “Se piove, allora ci sono nuvole in cielo”
Il contrario sarebbe “Se ci sono nuvole in cielo, sta piovendo”. Questo non è certamente sempre vero.
L’inverso sarebbe “Se non piove, allora non ci sono nuvole in cielo”. Allo stesso modo, questo non è sempre vero.
Il contrapposto sarebbe “Se non ci sono nuvole nel cielo, allora non sta piovendo”. Questa affermazione è valida, ed è equivalente all’implicazione originale.
Guardando le tavole di verità, possiamo vedere che il condizionale originale e il contrapositivo sono logicamente equivalenti, e che il contrario e l’inverso sono logicamente equivalenti.
| Implicazione | Conversa | Inversa | Contrapositivo | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| p | q | p → q | q → p | ~p → ~q | ~q → ~p | |
| T | T | T | T | T | T | |
| T | F | F | T | T | T | F |
| F | T | T | F | F | T | F | T | T | T | T |
Equivalenza
Un enunciato condizionale e il suo contrapositivo sono logicamente equivalenti.
La conversa e l’inverso di un’affermazione sono logicamente equivalenti.
Argomenti
Un argomento logico è un’affermazione che un insieme di premesse supporta una conclusione. Ci sono due tipi generali di argomenti: argomenti induttivi e deduttivi.
Tipi di argomenti
Un argomento induttivo usa un insieme di esempi specifici come premesse e li usa per proporre una conclusione generale.
Un argomento deduttivo usa un insieme di affermazioni generali come premesse e le usa per proporre una situazione specifica come conclusione.
Esempio 7
L’argomento “quando sono andata al negozio la settimana scorsa ho dimenticato la borsa, e quando sono andata oggi ho dimenticato la borsa. Dimentico sempre la mia borsa quando vado al negozio” è un argomento induttivo.
Le premesse sono:
Ho dimenticato la borsa la settimana scorsa
Ho dimenticato la borsa oggi
La conclusione è:
Ho sempre dimenticato la borsa
Notare che le premesse sono situazioni specifiche, mentre la conclusione è un’affermazione generale. In questo caso, si tratta di un argomento abbastanza debole, poiché si basa solo su due casi.
Esempio 8
L’argomento “ogni giorno, da un anno a questa parte, un aereo vola sopra casa mia alle 2 del pomeriggio. Un aereo volerà sopra casa mia ogni giorno alle 14” è un argomento induttivo più forte, poiché si basa su un insieme più ampio di prove.
Valutazione degli argomenti induttivi
Un argomento induttivo non è mai in grado di provare che la conclusione sia vera, ma può fornire prove deboli o forti per suggerire che possa essere vera.
Molte teorie scientifiche, come quella del big bang, non possono mai essere dimostrate. Sono invece argomenti induttivi supportati da un’ampia varietà di prove. Di solito nella scienza, un’idea è considerata un’ipotesi fino a quando non è stata ben testata, a quel punto passa ad essere considerata una teoria. Le teorie scientifiche comunemente conosciute, come la teoria della gravità di Newton, hanno tutte resistito ad anni di test e prove, anche se a volte hanno bisogno di essere aggiustate sulla base di nuove prove. Per la gravità, questo è successo quando Einstein ha proposto la teoria della relatività generale.
Un argomento deduttivo è più chiaramente valido o meno, il che lo rende più facile da valutare.
Valutazione degli argomenti deduttivi
Un argomento deduttivo è considerato valido se tutte le premesse sono vere, e la conclusione segue logicamente da quelle premesse. In altre parole, le premesse sono vere e la conclusione segue necessariamente da quelle premesse.
Esempio 9
L’argomento “Tutti i gatti sono mammiferi e una tigre è un gatto, quindi una tigre è un mammifero” è un argomento deduttivo valido.
Le premesse sono:
Tutti i gatti sono mammiferi
Una tigre è un gatto
La conclusione è:
Una tigre è un mammifero
Entrambe le premesse sono vere. Per vedere che le premesse devono portare logicamente alla conclusione, un approccio potrebbe essere quello di usare un diagramma di Venn. Dalla prima premessa, possiamo concludere che l’insieme dei gatti è un sottoinsieme dell’insieme dei mammiferi. Dalla seconda premessa, ci viene detto che una tigre si trova all’interno dell’insieme dei gatti. Da ciò, possiamo vedere nel diagramma di Venn che anche la tigre si trova nell’insieme dei mammiferi, quindi la conclusione è valida.
Analizzare gli argomenti con i diagrammi di Venn
Per analizzare un argomento con un diagramma di Venn
- Disegna un diagramma di Venn basato sulle premesse dell’argomento
- Se le premesse non sono sufficienti per determinare cosa determina la posizione di un elemento, indicalo.
- L’argomento è valido se è chiaro che la conclusione deve essere vera
Esempio 10
Premessa: Tutti i vigili del fuoco conoscono la RCP
Premessa: Jill conosce la RCP
Conclusione: Jill è un pompiere
Dalla prima premessa, sappiamo che i pompieri stanno tutti dentro l’insieme di coloro che conoscono la RCP. Dalla seconda premessa, sappiamo che Jill è un membro di quell’insieme più grande, ma non abbiamo abbastanza informazioni per sapere se è anche un membro del sottoinsieme più piccolo che è quello dei pompieri.
Siccome la conclusione non segue necessariamente dalle premesse, questo è un argomento non valido, indipendentemente dal fatto che Jill sia effettivamente un pompiere.
È importante notare che il fatto che Jill sia effettivamente un pompiere o meno non è importante per valutare la validità dell’argomento; ci interessa solo sapere se le premesse sono sufficienti a provare la conclusione.
Oltre a queste premesse di stile categorico della forma “tutti ___,” “alcuni ____,” e “nessun ____,” è anche comune vedere premesse che sono implicazioni.
Esempio 11
Premessa: Se vivi a Seattle, vivi a Washington.
Premessa: Marcus non vive a Seattle
Conclusione: Marcus non vive a Washington
Dalla prima premessa, sappiamo che l’insieme delle persone che vivono a Seattle è dentro l’insieme di quelle che vivono a Washington. Dalla seconda premessa, sappiamo che Marcus non si trova nell’insieme di Seattle, ma non abbiamo informazioni sufficienti per sapere se Marcus vive o meno a Washington. Questo è un argomento non valido.
Esempio 12
Considera l’argomento “Sei un uomo sposato, quindi devi avere una moglie”
Questo è un argomento non valido, poiché ci sono, almeno in alcune parti del mondo, uomini che sono sposati con altri uomini, quindi la premessa non è sufficiente per implicare la conclusione.
Alcuni argomenti sono meglio analizzati usando le tabelle di verità.
Esempio 13
Considera l’argomento:
Premessa: Se hai comprato del pane, allora sei andato al negozio
Premessa: Hai comprato del pane
Conclusione: Sei andato al negozio
Mentre questo esempio è, si spera, abbastanza ovviamente un argomento valido, possiamo analizzarlo usando una tabella di verità rappresentando ciascuna delle premesse in modo simbolico. Possiamo poi guardare l’implicazione che le premesse insieme implicano la conclusione. Se la tabella di verità è una tautologia (sempre vera), allora l’argomento è valido.
Avremo B che rappresenta “hai comprato il pane” e S che rappresenta “sei andato al negozio”. Allora l’argomento diventa:
Premessa: B → S
Premessa: B
Conclusione: S
Per verificare la validità, guardiamo se la combinazione delle due premesse implica la conclusione; è vero che → S ?
| B | S | B → S | (B→S) ⋀ B | → S |
| T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T |
| F | T | T | F | T |
| F | F | T | F | T |
Siccome la tabella di verità per → S è sempre vera, questo è un argomento valido.
Analizzare gli argomenti usando le tabelle di verità
Per analizzare un argomento con una tabella di verità:
- Rappresentare simbolicamente ciascuna delle premesse
- Creare un’affermazione condizionale, unendo tutte le premesse con e per formare l’antecedente, e usando la conclusione come conseguente.
- Creare una tabella di verità per tale affermazione. Se è sempre vera, allora l’argomento è valido.
Esempio 14
Premessa: Se vado al centro commerciale, allora compro dei nuovi jeans
Premessa: Se compro dei nuovi jeans, compro una camicia da abbinare
Conclusione: Se sono andato al centro commerciale, comprerò una camicia.
Lasciamo che M = vado al centro commerciale, J = compro i jeans, e S = compro una camicia.
Le premesse e la conclusione possono essere dichiarate come:
Premessa: M → J
Premessa: J → S
Conclusione: M → S
Possiamo costruire una tabella di verità per → (M→S)
| M | J | S | M → J | J → S | (M→J) ⋀ (J→S) | M → S | → (M→S) | ||
| T | T | T | T | T | T | T | T | ||
| T | T | T | F | T | T | F | F | F | T |
| T | F | T | F | T | F | T | T | T | |
| T | F | F | F | T | F | F | T | ||
| F | T | T | T | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | T | F | T | T | T | |
| F | F | T | T | T | T | T | T | ||
| F | F | F | T | T | T | T | T | T |
Dalla tabella della verità, possiamo vedere che questo è un argomento valido.
- Tecnicamente, questi sono cerchi di Eulero o diagrammi di Eulero, non diagrammi di Venn, ma per semplicità continueremo a chiamarli diagrammi di Venn. ↵