Quando si usa in fisica e in ingegneria, il teorema di inversione di Fourier è spesso usato sotto il presupposto che tutto “si comporta bene”. In matematica tali argomenti euristici non sono consentiti, e il teorema di inversione di Fourier include una specificazione esplicita di quale classe di funzioni è consentita. Tuttavia, non esiste una classe “migliore” di funzioni da considerare, quindi esistono diverse varianti del teorema di inversione di Fourier, anche se con conclusioni compatibili.
Funzioni di SchwartzModifica
Il teorema di inversione di Fourier vale per tutte le funzioni di Schwartz (in parole povere, funzioni lisce che decadono rapidamente e le cui derivate decadono tutte rapidamente). Questa condizione ha il vantaggio di essere un’affermazione elementare e diretta sulla funzione (al contrario di imporre una condizione sulla sua trasformata di Fourier), e l’integrale che definisce la trasformata di Fourier e la sua inversa sono assolutamente integrabili. Questa versione del teorema è usata nella dimostrazione del teorema di inversione di Fourier per le distribuzioni temperate (vedi sotto).
Funzioni integrabili con trasformata di Fourier integrabileModifica
Il teorema di inversione di Fourier vale per tutte le funzioni continue che sono assolutamente integrabili (cioè L 1 ( R n ) {\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})} ) con trasformata di Fourier assolutamente integrabile. Questo include tutte le funzioni di Schwartz, quindi è una forma strettamente più forte del teorema rispetto alla precedente menzionata. Questa condizione è quella usata sopra nella sezione dell’enunciato.
Funzioni integrabili in una dimensioneModifica
Piecewise smooth; una dimensione F – 1 g ( x ) := lim R → ∞ ∫ – R R e 2 π i x ξ g ( ξ ) d ξ . {\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\a \infty }int _{-R}^{R}e^{2\pi ix\xi },g(\xi )\,d\xi .}
allora per tutti gli x ∈ R {displaystyle x\ in \mathbb {R}
F – 1 ( F f ) ( x ) = 1 2 ( f ( x – ) + f ( x + ) ) , {\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)={\frac {1}{2}}(f(x_{-})+f(x_{+}),}
Un analogo più alto-dimensionale di questa forma di teorema è anche valido, ma secondo Folland (1992) è “piuttosto delicato e non molto utile”.
Continua a tratti; una dimensione
Se la funzione è assolutamente integrabile in una dimensione (cioè f ∈ L 1 ( R ) {\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )} ) ma solo continua a tratti, allora una versione del teorema di inversione di Fourier vale ancora. In questo caso l’integrale nella trasformata di Fourier inversa è definito con l’aiuto di una funzione liscia piuttosto che una funzione di taglio netto; in particolare definiamo
F – 1 g ( x ) := lim R → ∞ ∫ R φ ( ξ / R ) e 2 π i x ξ g ( ξ ) d ξ , φ ( ξ ) := e – ξ 2 . {\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\a \infty }int _{\mathbb {R} }{varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\xi },g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\xi ^{2}}.}
La conclusione del teorema è quindi la stessa del caso piecewise smooth discusso sopra.
Continuo; qualsiasi numero di dimensioni
Se f {displaystyle f} è continua e assolutamente integrabile su R n {displaystyle \mathbb {R} ^{n}} allora il teorema di inversione di Fourier vale ancora, purché si definisca nuovamente la trasformata inversa con una funzione di taglio liscia i.e.
F – 1 g ( x ) := lim R → ∞ ∫ R n φ ( ξ / R ) e 2 π i x ⋅ ξ g ( ξ ) d ξ , φ ( ξ ) := e – | ξ | 2 . {\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\a \infty }int _{mathbb {R} ^{n}}\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\cdot \xi },g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\vert \xi ^{2}}.
La conclusione è ora semplicemente che per tutti gli x ∈ R n {displaystyle x in \mathbb {R} ^{n}}
F – 1 ( F f ) ( x ) = f ( x ) . F – 1 ( F f ) ( x ) = f ( x ). Nessuna condizione di regolarità; qualsiasi numero di dimensioni
Se abbandoniamo tutte le ipotesi sulla continuità (piecewise) di f e assumiamo semplicemente che sia assolutamente integrabile, allora una versione del teorema è ancora valida. La trasformata inversa è di nuovo definita con il taglio liscio, ma con la conclusione che
F – 1 ( F f ) ( x ) = f ( x ) {\displaystyle {\mathcal {F}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}
per quasi ogni x ∈ R n . {displaystyle x in \mathbb {R} ^{n}.}
Funzioni quadrate integrabiliModifica
In questo caso la trasformata di Fourier non può essere definita direttamente come un integrale poiché potrebbe non essere assolutamente convergente, quindi è invece definita da un argomento di densità (vedi l’articolo sulla trasformata di Fourier). Per esempio, mettendo
g k ( ξ ) := ∫ { y ∈ R n : | y | ≤ k } e – 2 π i y ⋅ ξ f ( y ) d y , k ∈ N , {\displaystyle g_{k}(\xi ):={int _{{y\ in \mathbb {R} ^{n}:\left\vert y\right\vert \leq k\}e^{-2\pi iy\cdot \xi },f(y)\dy,\qquad k\ in \mathbb {N} ,} f ( x ) = F ( F – 1 f ) ( x ) = F – 1 ( F f ) ( x ) {\displaystyle f(x)={mathcal {F}}({mathcal {F}}^{-1}f)(x)={mathcal {F}^{-1}({mathcal {F}}f)(x)}
nella norma quadratica media. In una dimensione (e una sola dimensione), si può anche dimostrare che converge per quasi ogni x∈ℝ- questo è il teorema di Carleson, ma è molto più difficile da dimostrare che la convergenza nella norma quadratica media.
Distribuzioni temperateModifica
⟨ F f , φ ⟩ := ⟨ f , F φ ⟩ , {\displaystyle \langolo {\mathcal {F}}f,\varphi \rangle :=\langolo f,{\mathcal {F}}varphi \rangle ,} F F – 1 = F – 1 F = Id S ′ ( R n ) . {\mathcal {F}}{mathcal {F}^{-1}={mathcal {F}^{-1}{mathcal {F}===operatorname {Id} _{{mathcal {S}'(\mathbb {R} ^{n})}.