Tablas de verdad
Debido a que los enunciados booleanos complejos pueden ser complicados de pensar, podemos crear una tabla de verdad para llevar la cuenta de qué valores de verdad de los enunciados simples hacen que el enunciado complejo sea verdadero y falso
Tabla de verdad
Una tabla que muestra cuál es el valor de verdad resultante de un enunciado complejo para todos los posibles valores de verdad de los enunciados simples.
Ejemplo 1
Supongamos que estás eligiendo un nuevo sofá, y tu pareja te dice «coge un seccional o algo con chaise».
Este es un enunciado complejo hecho de dos condiciones más simples: «es un seccional» y «tiene una chaise». Para simplificar, usemos S para designar «es un seccional», y C para designar «tiene una chaise». La condición S es verdadera si el sofá es un seccional.
Una tabla de verdad para esto tendría el siguiente aspecto:
| S | C | S o C |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | T |
| T | T | |
| F | F | F |
En la tabla, T se utiliza para verdadero, y F para falso. En la primera fila, si S es verdadera y C también es verdadera, entonces la declaración compleja «S o C» es verdadera. Esto sería un seccional que también tiene un chaise, lo que cumple nuestro deseo.
Recuerda también que o en lógica no es excluyente; si el sofá tiene ambas características, sí cumple la condición.
Para abreviar más nuestra notación, vamos a introducir algunos símbolos que se usan habitualmente para y, o, y no.
Símbolos
El símbolo ⋀ se usa para y: A y B se anota A ⋀ B.
El símbolo ⋁ se utiliza para o: A o B se anota A ⋁ B
El símbolo ~ se utiliza para no: no A se anota ~A
Puedes recordar los dos primeros símbolos relacionándolos con las formas para la unión e intersección. A ⋀ B serían los elementos que existen en ambos conjuntos, en A ⋂ B. Asimismo, A ⋁ B serían los elementos que existen en cualquiera de los dos conjuntos, en A ⋃ B.
En el ejemplo anterior, la tabla de verdad era realmente un resumen de lo que ya sabemos sobre el funcionamiento de la sentencia or. Las tablas de verdad para las sentencias básicas and, or y not se muestran a continuación.
Tablas de verdad básicas
| A | B | A ⋀ B | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | ||||||
| F | T | F | F | F | F | ||||
| A | B | A ⋁ B | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | F | T | F | T | T | T | T | F | F | F |
| A | ~A | ||
|---|---|---|---|
| T | F | F | T |
Las tablas de verdad se vuelven realmente útiles cuando se analizan enunciados booleanos más complejos.
Ejemplo 2
Crea una tabla de verdad para la afirmación A ⋀ ~(B ⋁ C)
Ayuda a trabajar desde dentro hacia fuera cuando se crean tablas de verdad, y crea tablas para operaciones intermedias. Empezamos enumerando todas las posibles combinaciones de valores de verdad para A, B y C. Observa cómo la primera columna contiene 4 Ts seguidas de 4 Fs, la segunda columna contiene 2 Ts, 2 Fs, y luego se repite, y la última columna alterna. Este patrón garantiza que se consideren todas las combinaciones. Junto con esos valores iniciales, enumeraremos los valores de verdad de la expresión más interna, B ⋁ C.
| A | B | B ⋁ C | T | T | T | T | ||||||
| T | F | T | ||||||||||
| T | F | T | F | F | ||||||||
| F | T | T | T | T | F | T | F | T | F | F | T | T |
| F | F | F |
A continuación podemos encontrar la negación de B ⋁ C, trabajando con la columna B ⋁ C que acabamos de crear.
| A | B | C | B ⋁ C | ~(B ⋁ C) | T | T | T | T | F | ||
| T | F | T | F | ||||||||
| T | T | T | T | T | F | T | T | F | F | F | T |
| T | T | T | T | ||||||||
| T | F | T | T | ||||||||
| F | F | F | F | T | T | F | F | F | F | F | F |
Finalmente, encontramos los valores de A y ~(B ⋁ C)
| A | B | C | B ⋁ C | ~(B ⋁ C) | A ⋀ ~(B ⋁ C) | T | T | T | T | F | F | T | T | T | F | F | F |
| T | F | T | T | F | F | F | T | T | |||||||
| F | T | T | T | F | |||||||||||
| F | T | F | T | F | F | T | F | F | F | F | F | F | T | F | F |
Resulta que esta expresión compleja sólo es verdadera en un caso: si A es verdadero, B es falso y C es falso.
Cuando hablamos antes de las condiciones, hablamos del tipo en el que tomamos una acción basada en el valor de la condición. Ahora vamos a hablar de una versión más general de una condicional, a veces llamada implicación.
Implicaciones
Las implicaciones son oraciones condicionales lógicas que afirman que un enunciado p, llamado antecedente, implica una consecuencia q.
Las implicaciones se escriben comúnmente como p → q
Las implicaciones son similares a las oraciones condicionales que vimos anteriormente; p → q se escribe típicamente como «si p entonces q», o «p por tanto q». La diferencia entre las implicaciones y los condicionales es que los condicionales de los que hablamos antes sugieren una acción: si la condición es verdadera, entonces realizamos alguna acción como resultado. Las implicaciones son un enunciado lógico que sugiere que la consecuencia debe seguirse lógicamente si el antecedente es verdadero.
Ejemplo 3
El enunciado inglés «If it is raining, then there are clouds in the sky» es una implicación lógica. Es un argumento válido porque si el antecedente «está lloviendo» es verdadero, entonces la consecuencia «hay nubes en el cielo» también debe ser verdadera.
Nótese que el enunciado no nos dice nada de lo que podemos esperar si no llueve. Si el antecedente es falso, entonces la implicación se vuelve irrelevante.
Ejemplo 4
Un amigo te dice que «si subes esa foto a Facebook, perderás tu trabajo». Hay cuatro resultados posibles:
- Subes la foto y conservas tu trabajo
- Subes la foto y pierdes tu trabajo
- No subes la foto y conservas tu trabajo
- No subes la foto y pierdes tu trabajo
- Dibuja un diagrama de Venn a partir de las premisas del argumento
- Si las premisas son insuficientes para determinar lo que determina la ubicación de un elemento, indícalo.
- El argumento es válido si está claro que la conclusión debe ser verdadera
- Representar cada una de las premisas simbólicamente
- Crear un enunciado condicional, uniendo todas las premisas con y para formar el antecedente, y usando la conclusión como el consecuente.
- Crear una tabla de verdad para ese enunciado. Si siempre es verdadera, entonces el argumento es válido.
- Técnicamente, se trata de círculos de Euler o diagramas de Euler, no de diagramas de Venn, pero para simplificar seguiremos llamándolos diagramas de Venn. ↵
Sólo hay un caso posible en el que tu amigo estaba mintiendo-la primera opción en la que subes la foto y conservas tu trabajo. En los dos últimos casos, tu amigo no dijo nada sobre lo que pasaría si no subías la foto, por lo que no puedes concluir que su afirmación sea inválida, incluso si no subes la foto y sigues perdiendo tu trabajo.
En la lógica tradicional, una implicación se considera válida (verdadera) siempre que no haya casos en los que el antecedente sea verdadero y la consecuencia sea falsa. Es importante tener en cuenta que la lógica simbólica no puede capturar todos los entresijos de la lengua inglesa.
Valores de verdad para las implicaciones
| p | q | . p → q | ||||
| T | T | T | ||||
| T | F | F | F | F | T | T |
| F | T |
Ejemplo 5
Construye una tabla de verdad para la afirmación (m ⋀ ~p) → r
Empezamos construyendo una tabla de verdad para el antecedente.
| m | p | ~p | m ⋀ ~p | T | F | F | ||||||
| F | T | T | T | T | F | F | F | F | F | F | T | F |
Ahora podemos construir la tabla de verdad para la implicación
| m | p | ~p | m ⋀ ~p | r | (m ⋀ ~p) → r | T | T | F | F | T | T |
| F | T | T | T | T | |
| F | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | |
| T | F | T | F | F | T |
| F | F | T | F | T | |
En este caso, cuando m es verdadero, p es falso, y r es falso, entonces el antecedente m ⋀ ~p será verdadero pero la consecuencia falsa, resultando una implicación inválida; cualquier otro caso da una implicación válida.
Para cualquier implicación, hay tres enunciados relacionados, el inverso, el inverso y el contrapositivo.
Enunciados relacionados
La implicación original es «si p entonces q»: p → q
El inverso es «si q entonces p»: q → p
El inverso es «si no p entonces no q»: ~p → ~q
El contrapositivo es «si no q entonces no p»: ~q → ~p
Ejemplo 6
Considera de nuevo la implicación válida «Si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo»
La inversa sería «Si hay nubes en el cielo, está lloviendo». Desde luego, esto no es siempre cierto.
La inversa sería «Si no llueve, entonces no hay nubes en el cielo». Igualmente, esto no es siempre cierto.
El contrapositivo sería «Si no hay nubes en el cielo, entonces no está lloviendo». Este enunciado es válido, y es equivalente a la implicación original.
Mirando las tablas de verdad, podemos ver que el condicional original y el contrapositivo son lógicamente equivalentes, y que el inverso y la inversa son lógicamente equivalentes.
| Converso | Inverso | Contrapositivo | |||
|---|---|---|---|---|---|
| p | q | p → q | q → p | ~p → ~q | ~q → ~p | T | T | T | T | T | T | T | F | F | T | T | F | F | T | F | F | F | T | F | F | F | T | T | T | T | T | T | T | T | T | T | T | T | T |
Equivalencia
Un enunciado condicional y su contrapositivo son lógicamente equivalentes.
La inversa y el inverso de un enunciado son lógicamente equivalentes.
Argumentos
Un argumento lógico es una afirmación de que un conjunto de premisas apoya una conclusión. Hay dos tipos generales de argumentos: los inductivos y los deductivos.
Tipos de argumentos
Un argumento inductivo utiliza una colección de ejemplos específicos como sus premisas y los utiliza para proponer una conclusión general.
Un argumento deductivo utiliza una colección de afirmaciones generales como sus premisas y las utiliza para proponer una situación específica como conclusión.
Ejemplo 7
El argumento «cuando fui a la tienda la semana pasada olvidé mi bolso, y cuando fui hoy olvidé mi bolso. Siempre me olvido el bolso cuando voy a la tienda» es un argumento inductivo.
Las premisas son:
Olvidé mi bolso la semana pasada
Olvidé mi bolso hoy
La conclusión es:
Siempre olvido mi bolso
Nota que las premisas son situaciones específicas, mientras que la conclusión es una afirmación general. En este caso, se trata de un argumento bastante débil, ya que se basa en sólo dos casos.
Ejemplo 8
El argumento «todos los días desde hace un año, un avión sobrevuela mi casa a las 14 horas. Un avión sobrevolará mi casa todos los días a las 14:00 horas» es un argumento inductivo más fuerte, ya que se basa en un conjunto de pruebas más amplio.
Un argumento inductivo nunca es capaz de demostrar que la conclusión es verdadera, pero puede proporcionar pruebas débiles o fuertes que sugieren que puede ser cierta.
Muchas teorías científicas, como la teoría del big bang, nunca se pueden demostrar. En cambio, son argumentos inductivos apoyados por una amplia variedad de pruebas. Por lo general, en la ciencia, una idea se considera una hipótesis hasta que ha sido bien probada, momento en el que pasa a ser considerada una teoría. Las teorías científicas más conocidas, como la teoría de la gravedad de Newton, han resistido años de pruebas y evidencias, aunque a veces es necesario ajustarlas a partir de nuevas pruebas. En el caso de la gravedad, esto ocurrió cuando Einstein propuso la teoría de la relatividad general.
Un argumento deductivo es más claramente válido o no, lo que hace que sean más fáciles de evaluar.
Evaluación de argumentos deductivos
Un argumento deductivo se considera válido si todas las premisas son verdaderas, y la conclusión se sigue lógicamente de esas premisas. En otras palabras, las premisas son verdaderas, y la conclusión se sigue necesariamente de esas premisas.
Ejemplo 9
El argumento «Todos los gatos son mamíferos y un tigre es un gato, por lo que un tigre es un mamífero» es un argumento deductivo válido.
Las premisas son:
Todos los gatos son mamíferos
Un tigre es un gato
La conclusión es:
Un tigre es un mamífero
Ambas premisas son verdaderas. Para ver que las premisas deben llevar lógicamente a la conclusión, una aproximación sería utilizar un diagrama de Venn. De la primera premisa, podemos concluir que el conjunto de los gatos es un subconjunto del conjunto de los mamíferos. De la segunda premisa, se deduce que el tigre está dentro del conjunto de los gatos. A partir de ahí, podemos ver en el diagrama de Venn que el tigre también se encuentra dentro del conjunto de los mamíferos, por lo que la conclusión es válida.
Analizar argumentos con diagramas de Venn
Para analizar un argumento con un diagrama de Venn
Ejemplo 10
Premisa: Jill sabe RCP
Conclusión: Jill es bombero
Desde la primera premisa, sabemos que todos los bomberos están dentro del conjunto de los que saben RCP. A partir de la segunda premisa, sabemos que Jill es miembro de ese conjunto mayor, pero no tenemos suficiente información para saber si también es miembro del subconjunto más pequeño que son los bomberos.
Dado que la conclusión no se deduce necesariamente de las premisas, éste es un argumento inválido, independientemente de que Jill sea realmente un bombero.
Es importante señalar que el hecho de que Jill sea o no realmente un bombero no es importante para evaluar la validez del argumento; sólo nos preocupa si las premisas son suficientes para probar la conclusión.
Además de estas premisas de estilo categórico de la forma «todos ___», «algunos ____» y «ningún ____», también es común ver premisas que son implicaciones.
Ejemplo 11
Premisa: Si vives en Seattle, vives en Washington.
Premisa: Marcus no vive en Seattle
Conclusión: Marcus no vive en Washington
Desde la primera premisa, sabemos que el conjunto de personas que viven en Seattle está dentro del conjunto de los que viven en Washington. A partir de la segunda premisa, sabemos que Marcus no se encuentra en el conjunto de Seattle, pero no tenemos información suficiente para saber si Marcus vive o no en Washington. Este es un argumento inválido.
Ejemplo 12
Considere el argumento «Usted es un hombre casado, por lo que debe tener una esposa»
Este es un argumento inválido, ya que hay, al menos en algunas partes del mundo, hombres que están casados con otros hombres, por lo que la premisa no insuficiente para implicar la conclusión.
Algunos argumentos se analizan mejor usando tablas de verdad.
Ejemplo 13
Considera el argumento:
Premisa: Si compraste pan, entonces fuiste a la tienda
Premisa: Compraste pan
Conclusión: Fuiste a la tienda
Aunque este ejemplo es, con suerte, un argumento válido de forma bastante obvia, podemos analizarlo utilizando una tabla de verdad representando cada una de las premisas de forma simbólica. A continuación, podemos ver la implicación de que las premisas juntas implican la conclusión. Si la tabla de verdad es una tautología (siempre verdadera), entonces el argumento es válido.
Pondremos que B representa «compraste pan» y S representa «fuiste a la tienda». Entonces el argumento se convierte en:
Premisa: B → S
Premisa: B
Conclusión: S
Para comprobar la validez, miramos si la combinación de ambas premisas implica la conclusión; ¿es cierto que → S ?
| B | S | B → S | (B→S) ⋀ B | → S | ||||||
| T | T | T | T | T | T | F | F | F | F | T |
| F | T | F | T | T | ||||||
| F | F | T | F | T |
Dado que la tabla de verdad de → S es siempre verdadera, este es un argumento válido.
Analizar argumentos usando tablas de verdad
Para analizar un argumento con una tabla de verdad:
Ejemplo 14
Premisa: Si voy al centro comercial, entonces me compraré unos vaqueros nuevos
Premisa: Si me compro unos vaqueros nuevos, me compraré una camisa que vaya con ellos
Conclusión: Si he llegado al centro comercial, me compraré una camisa.
Dejemos que M = voy al centro comercial, J = me compro unos vaqueros y S = me compro una camisa.
Las premisas y la conclusión se pueden enunciar como:
Premisa: M → J
Premisa: J → S
Conclusión: M → S
Podemos construir una tabla de verdad para → (M→S)
| M | J | S | M → J | J → S | (M→J) ⋀ (J→S) | M → S | → (M→S) | ||||||||||||
| T | T | T | T | T | T | T | T | ||||||||||||
| T | T | F | T | F | F | F | T | ||||||||||||
| T | F | T | F | T | F | T | |||||||||||||
| T | F | F | F | T | F | F | T | T | T | T | T | T | F | T | T | F | F | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T | T | T | T | T | |||||||||
Desde la tabla de verdad, podemos ver que este es un argumento válido.