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Exponentes são abreviaturas para a multiplicação repetida da mesma coisa por si só. Por exemplo, o estenógrafo para multiplicar três cópias do número 5 é mostrado no lado direito do sinal “igual” em (5)(5)(5) = 53. O “expoente”, sendo 3 neste exemplo, representa por mais vezes que o valor esteja a ser multiplicado. A coisa que está a ser multiplicada, sendo 5 neste exemplo, chama-se “base”.
Este processo de utilização de expoentes chama-se “elevar a um poder”, onde o expoente é o “poder”. A expressão “53” é pronunciada como “cinco, elevado ao terceiro poder” ou “cinco ao terceiro”.
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Existem duas potências especialmente nomeadas: “à segunda potência” é geralmente pronunciada como “ao quadrado”, e “à terceira potência” é geralmente pronunciada como “ao cubo”. Assim, “53” é geralmente pronunciado como “cinco ao cubo”.
Quando lidamos com números, normalmente simplificamos; preferimos lidar com “27” do que com “33”. Mas com variáveis, precisamos dos expoentes, porque preferimos lidar com “x6” do que com “xxxxxx”.
p>Expoentes têm algumas regras que podemos usar para simplificar expressões.
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Simplificar (x3)(x4).
Para simplificar isto, posso pensar em termos do que esses expoentes significam. “Ao terceiro” significa “multiplicar três cópias” e “ao quarto” significa “multiplicar quatro cópias”. Usando este facto, posso “expandir” os dois factores, e depois trabalhar de trás para a frente para a forma simplificada. Primeiro, expandi:
(x3)(x4) = (xxx)(xxxx)
Agora posso remover os parênteses e juntar todos os factores:
(xxx)(xxxx) = xxxxxxx
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Esta é de sete cópias da variável. “Multiplicando sete cópias” significa “à sétima potência”, pelo que esta pode ser reposta como:
xxxxxxx = x7
p>P>P>Posto tudo junto, os passos são os seguintes
(x3)(x4) = (xxx)(xxxx)
= xxxxxxx
= x7
Então a forma simplificada de (x3)(x4) é:
x7
Nota que x7 também é igual a x(3+4). Isto demonstra a primeira regra básica do expoente:
Quando se multiplicam dois termos com a mesma base, pode-se adicionar os expoentes:
( x m ) ( x n ) = x( m + n )
Contudo, NÃO podemos simplificar (x4)(y3), porque as bases são diferentes: (x4)(y3) = xxxxyyy = (x4)(y3). Nada combina.
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Simplificar (a5 b3) (a b7).
Agora que conheço a regra (nomeadamente, que posso adicionar os poderes na mesma base), posso começar por mover as bases para obter todas as mesmas bases umas ao lado das outras:
(a5 b3) (a b7) = (a5) (a) (b3) (b7)
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Agora quero adicionar os poderes sobre os a’s e os b’s. No entanto, o segundo a parece não ter um poder. O que acrescento para este termo?
A tudo o que não tem poder sobre ele, num sentido técnico, sendo “elevado ao poder 1”. Qualquer coisa ao poder 1 é apenas ela própria, uma vez que é “multiplicar uma cópia” de si mesma. Assim, a expressão acima pode ser reescrita como:
(a5) (a) (b3) (b7) = (a5) (a1) (b3) (b7)
Agora posso combinar:
(a5) (a1) (a1) (b3) (b7) = a5+1 b3+7 = a6 b10
p>P>Posto tudo junto, o meu trabalho de mão ficaria assim:
(a5 b3) (a b7) = (a5 a1) (b3 b7) =
a6 b10
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No exemplo seguinte, existem dois poderes, sendo um poder “dentro” do outro, de certa forma.
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Simplificar (x2)4
Para fazer a simplificação, posso começar por pensar em termos do que significam os expoentes. O “até ao quarto” no exterior significa que estou a multiplicar quatro cópias de qualquer base que esteja dentro dos parênteses. Neste caso, a base da quarta potência é x2. Multiplicar quatro cópias desta base dá-me:
(x2)4 = (x2)(x2)(x2)(x2)
Cada factor na expansão acima referida é “multiplicar duas cópias” da variável. Esta expansão expande-se como:
(x2)(x2)(x2)(x2)(x2) = (xx)(xx)(xx)(xx)
Remover os parênteses, eu recebo:
(xx)(xx)(xx)(xx)(xx) = xxxxxxxx
Esta é uma sequência de oito cópias da variável. “Multiplicando oito cópias” significa “à oitava potência”, portanto isto significa:
xxxxxxxx = x8
P>P>Posto tudo junto:
(x2)4 = (x2)(x2)(x2)(x2)(x2)
= (xx)(xx)(xx)(xx)(xx)
= xxxxxxxx
= x8
Nota que (x2)4 = x8, e que 2 × 4 = 8. Isto demonstra a segunda regra do expoente:
Quando se tem uma expressão expoente que é elevada a um poder, pode-se simplificar multiplicando o poder exterior sobre o poder interior:
( xm ) n = x m n
Se tiver um produto dentro dos parênteses, e um poder sobre os parênteses, então o poder vai sobre cada elemento dentro. Por exemplo:
(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2)
= (xxx)(y2y2y2)
= (xxx)(yyyyyy)
= x3y6
= (x)3(y2)3
Outro exemplo seria
^2 = (x^2) / (y^2)Aviso: Esta regra NÃO funciona se tiver uma soma ou diferença dentro dos parênteses. Os expoentes, ao contrário da mulitiplicação, NÃO “distribuem” por adição.
Por exemplo, dado (3 + 4)2, NÃO sucumbem à tentação de dizer “Ei, isto é igual a 32 + 42 = 9 + 16 = 25”, porque isto está errado. Na verdade, (3 + 4)2 = (7)2 = 49, não 25.
Quando em dúvida, escreva a expressão de acordo com a definição do poder. Por exemplo, dado (x – 2)2, não tente fazer isto na sua cabeça. Em vez disso, escreva-a; “ao quadrado” significa “multiplicar duas cópias de”, portanto:
(x – 2)2 = (x – 2)(x – 2)
= x(x – 2) – 2(x – 2)
= xx – 2x – 2x + 4
= x2 – 4x + 4.
O erro de tentar “distribuir” erroneamente o expoente é mais frequente quando o aluno está a tentar fazer tudo na sua cabeça, em vez de mostrar o seu trabalho. Faça as coisas com cuidado, e não será tão provável que cometa este erro.
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Simplificar (a2 b3 c)4
p>Agora que conheço a regra sobre poderes sobre poderes, posso levar os 4 até cada um dos factores no interior. (Terei de me lembrar que, com o c, dentro dos parênteses é “para o poder 1”.)
(a2)4 (b3)4 (c1)4
= (a2×4) (b3×4) (c1×4)
= a8 b12 c4
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Existe uma outra regra que pode ou não ser coberta na sua aula nesta fase:
Ainda ao poder zero é apenas “1” (desde que o “qualquer coisa” não seja ele próprio zero).
Esta regra é explicada na página seguinte. Na prática, no entanto, esta regra significa que alguns exercícios podem ser muito mais fáceis do que podem aparecer à primeira vista:
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Simplificar 0
Quem se preocupa com esse material dentro dos parênteses rectos? Claro que não, porque a potência zero no exterior significa que o valor da coisa toda é apenas 1. Ha!
0 = 1
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A propósito, assim que a sua turma cobrir “até à potência zero”, deverá esperar um exercício como o acima mencionado no próximo teste. É um truque comum, concebido para o fazer perder muito do seu tempo limitado – mas só funciona se não estiver a prestar atenção.
Pode usar o widget Mathway abaixo para praticar expressões simplificadoras com expoentes. Experimente o exercício introduzido, ou escreva no seu próprio exercício. Depois clique no botão para comparar a sua resposta com a do Mathway. (Ou salte o widget e continue com a lição, ou reveja muitos exemplos trabalhados aqui.)
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