Tabelas da Verdade
Porque as afirmações booleanas complexas podem tornar-se complicadas de pensar, podemos criar uma tabela de verdade para acompanhar que valores de verdade para as afirmações simples tornam a afirmação complexa verdadeira e falsa
Tabela de verdade
Uma tabela mostrando qual o valor de verdade resultante de uma afirmação complexa para todos os valores de verdade possíveis para as afirmações simples.
Exemplo 1
P>Se estiver a escolher um novo sofá, e a sua outra frase significativa diz “arranje uma secção ou algo com uma chaise-chá”
Esta é uma frase complexa feita de duas condições mais simples: “é uma secção”, e “tem uma chaise-longue”. Para simplificar, vamos usar S para designar “é uma secção”, e C para designar “tem uma chaise-chá”. A condição S é verdadeira se o sofá for uma seccional.
Uma tabela de verdade para isto pareceria assim:
| S | C | S ou C |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
Na tabela, T é usado para verdadeiro, e F para falso. Na primeira fila, se S for verdadeiro e C também for verdadeiro, então a frase complexa “S ou C” é verdadeira. Esta seria uma secção que também tem uma chaise, que satisfaz o nosso desejo.
Lembra-te também que ou na lógica não é exclusiva; se o sofá tem ambas as características, satisfaz a condição.
Para abreviar ainda mais a nossa notação, vamos introduzir alguns símbolos que são normalmente usados para e, ou, e não.
Symbols
O símbolo ⋀ é usado para e: A e B é anotado A ⋀ B.
O símbolo ⋁ é usado para ou: A ou B é anotado A ⋁ B
O símbolo ~ é usado para não: não A é anotado ~A
P>P>Pode recordar os dois primeiros símbolos relacionando-os com as formas para a união e intersecção. A ⋀ B seriam os elementos que existem em ambos os conjuntos, em A ⋂ B. Da mesma forma, A ⋁ B seriam os elementos que existem em qualquer dos conjuntos, em A ⋃ B.
No exemplo anterior, a tabela da verdade estava realmente apenas a resumir o que já sabemos sobre como funciona a afirmação ou declaração. As tabelas de verdade para as declarações básicas e, ou, e não declarações, são mostradas abaixo.
Basic Truth Tables
| A | B | A ⋀ B |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F | F | T | F |
| F | F | F |
| A | th>B | A ⋁ B |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F |
| T | F |
As tabelas da verdade tornam-se realmente úteis quando se analisam afirmações booleanas mais complexas.
Exemplo 2
Cria uma tabela de verdade para a afirmação A ⋀ ~(B ⋁ C)
Ajuda a trabalhar de dentro para fora ao criar tabelas de verdade, e a criar tabelas para operações intermédias. Começamos por listar todas as combinações possíveis de valores de verdade para A, B, e C. Repare como a primeira coluna contém 4 Ts, seguida de 4 Fs, a segunda coluna contém 2 Ts, 2 Fs, depois repete, e a última coluna alterna. Este padrão assegura que todas as combinações são consideradas. Juntamente com esses valores iniciais, listaremos os valores de verdade para a expressão mais íntima, B ⋁ C.
| A | B | C | B ⋁ C | ||
| T | T | T | T | ||
| T | T | F | T | ||
| T | F | T | T | ||
| T | T | F | F>/td> | F | F |
| F | T | T | T | ||
| F | T | F | T | ||
| F | F | F | T | T | |
| F | F | F | F |
P>Próximo podemos encontrar a negação de B ⋁ C, trabalhando a partir da coluna B ⋁ C que acabámos de criar.
| A | B | C | B ⋁ C | ~(B ⋁ C) | |
| T | T | T | T | F | |
| T | T | F | T | F | F |
| T | F | T | T | F | T>F | F | F | T |
| F | T | T | T | T | F |
| F | T | F | T | T | F |
| F | F | T | T | F | |
| F | F | F | F | F | T |
Finalmente, encontramos os valores de A e ~(B ⋁ C)
| A | B | C | B ⋁ C | ~(B ⋁ C) | A ⋀ ~(B ⋁ C) | |
| T | T | T | T | F | F | |
| T | T | F | T | T | F | F |
| T | F | T | T | F | F | |
| T | F | F | F | T | T | |
| F | T | T | T | T | F | F |
| F | T | F | T | F | F | |
| F | F | T | T | F | F | |
| F | F | F | F | F | T | F |
Acontece que esta expressão complexa só é verdadeira num caso: se A é verdadeiro, B é falso, e C é falso.
Quando discutimos as condições anteriormente, discutimos o tipo em que tomamos uma acção com base no valor da condição. Vamos agora falar de uma versão mais geral de uma condicional, por vezes chamada de implicação.
Implicações
Implicações são frases condicionais lógicas afirmando que uma afirmação p, chamada de antecedente, implica uma consequência q.
Implicações são normalmente escritas como p → q
Implicações são semelhantes às declarações condicionais que vimos anteriormente; p → q é tipicamente escrito como “se p então q,” ou “p portanto q”. A diferença entre as implicações e os condicionantes é que os condicionantes que discutimos anteriormente sugerem uma acção – se a condição for verdadeira, então tomamos alguma acção como resultado. As implicações são uma afirmação lógica que sugere que a consequência deve seguir-se logicamente se o precedente for verdadeiro.
Exemplo 3
A afirmação inglesa “If it is rain, then there are clouds in the sky” é uma implicação lógica. É um argumento válido porque se o precedente “está a chover” é verdadeiro, então a consequência “há nuvens no céu” também deve ser verdadeira.
Notificação de que a afirmação não nos diz nada do que esperar se não estiver a chover. Se o antecedente for falso, então a implicação torna-se irrelevante.
Exemplo 4
Um amigo diz-lhe que “se carregar essa imagem no Facebook, perderá o seu emprego”. Há quatro resultados possíveis:
- Você carrega a fotografia e mantém o seu emprego
- Você carrega a fotografia e perde o seu emprego
- Você não carrega a fotografia e mantém o seu emprego
- Você não carrega a fotografia e perde o seu emprego
Existe apenas um caso possível em que o seu amigo estava deitado – a primeira opção onde carrega a fotografia e mantém o seu emprego. Nos dois últimos casos, o seu amigo não disse nada sobre o que aconteceria se não carregasse a fotografia, pelo que não pode concluir que a declaração deles é inválida, mesmo que não carregasse a fotografia e mesmo assim perdesse o seu emprego.
Na lógica tradicional, uma implicação é considerada válida (verdadeira) desde que não haja casos em que o antecedente seja verdadeiro e a consequência seja falsa. É importante ter em mente que a lógica simbólica não pode captar todos os meandros da língua inglesa.
Valores Verdadeiros para Implicações
| p | q>/td> | p → q |
| T | T | T |
| F | F | T | T |
| F | F | T |
Exemplo 5
Construir uma tabela de verdade para a afirmação (m ⋀ ~p) → r
Comecemos por construir uma tabela de verdade para o antecedente.
| m | p | ~p | m ⋀ ~p | |
| T | T | F | F | |
| T | F | T | T | |
| F | T | T | F | F |
| F | F | F | T | F |
Agora podemos construir a tabela da verdade para a implicação
| m | p | ~p | m ⋀ ~p | r | (m ⋀ ~p) → r | ||
| T | F | F | T | T | |||
| T | F | T | T | T | T | ||
| F | T | F | F | F | T | T | |
| F | F | T | F | F | T | T | |
| T | T | F | F | F | F | F | T |
| T | F | T | T | F | F | ||
| F | T | F | F | F | F | F | T |
| F | F | T | F | F | F | T |
Neste caso, quando m é verdadeiro, p é falso, e r é falso, então o antecedente m ⋀ ~p será verdadeiro mas a consequência será falsa, resultando numa implicação inválida; todos os outros casos dão uma implicação válida.
Para qualquer implicação, há três afirmações relacionadas, o inverso, o inverso, e o contrapositivo.
Declarações relacionadas
A implicação original é “se p então q”: p → q
O inverso é “se q então p”: q → p
O inverso é “se não p então não q”: ~p → ~q
O contrapositivo é “se não q então não p”: ~q → ~p
Exemplo 6
Considerar novamente a implicação válida “Se está a chover, então há nuvens no céu”
O inverso seria “Se há nuvens no céu, está a chover”. Isto nem sempre é verdade.
O inverso seria “Se não está a chover, então não há nuvens no céu”. Da mesma forma, isto nem sempre é verdade.
O contrapositivo seria “Se não há nuvens no céu, então não está a chover”. Esta afirmação é válida, e é equivalente à implicação original.
p>Vendo as tabelas da verdade, podemos ver que o condicional original e o contrapositivo são logicamente equivalentes, e que o inverso e o inverso são logicamente equivalentes.
| >/th>>>th>>/th>>>>Implication | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| p | q | p → q | th> q → p | ~p → ~q | ~q → ~p | ||
| T | T | T | T | T | T | T | |
| T | F | F | T | T | T | F | |
| F | T | F | F | F | F | T | T |
| F | F | T | T | T | T |
Equivalência
Uma declaração condicional e a sua contrapositiva são logicamente equivalentes.
O inverso e o inverso de uma declaração são logicamente equivalentes.
Argumentos
Um argumento lógico é uma alegação de que um conjunto de premissas apoia uma conclusão. Existem dois tipos gerais de argumentos: argumentos indutivos e dedutivos.
Tipos de argumentos
Um argumento indutivo utiliza uma colecção de exemplos específicos como suas premissas e utiliza-os para propor uma conclusão geral.
Um argumento dedutivo utiliza uma colecção de declarações gerais como suas premissas e utiliza-as para propor uma situação específica como conclusão.
Exemplo 7
O argumento “quando fui à loja na semana passada esqueci-me da minha bolsa, e quando fui hoje esqueci-me da minha bolsa. Esqueço sempre a minha bolsa quando vou à loja” é um argumento indutivo.
As premissas são:
Esqueci-me da minha bolsa na semana passada
Esqueci-me da minha bolsa hoje
A conclusão é:
Esqueço-me sempre da minha bolsa
Nota que as premissas são situações específicas, enquanto que a conclusão é uma afirmação geral. Neste caso, este é um argumento bastante fraco, uma vez que se baseia apenas em duas instâncias.
Exemplo 8
O argumento “todos os dias do ano passado, um avião sobrevoa a minha casa às 14 horas. Um avião sobrevoará a minha casa todos os dias às 14 horas” é um argumento indutivo mais forte, uma vez que se baseia num conjunto maior de provas.
Avaliar argumentos indutivos
Um argumento indutivo nunca é capaz de provar a conclusão verdadeira, mas pode fornecer provas fracas ou fortes para sugerir que pode ser verdade.
Muitas teorias científicas, tais como a teoria do big bang, nunca podem ser provadas. Em vez disso, são argumentos indutivos apoiados por uma grande variedade de provas. Normalmente em ciência, uma ideia é considerada uma hipótese até ter sido bem testada, altura em que se forma para ser considerada uma teoria. As teorias científicas mais conhecidas, como a teoria da gravidade de Newton, resistiram todas a anos de testes e provas, embora por vezes precisem de ser ajustadas com base em novas provas. Para a gravidade, isto aconteceu quando Einstein propôs a teoria da relatividade geral.
Um argumento dedutivo é mais claramente válido ou não, o que os torna mais fáceis de avaliar.
Avaliar argumentos dedutivos
Um argumento dedutivo é considerado válido se todas as premissas forem verdadeiras, e a conclusão segue logicamente a partir dessas premissas. Por outras palavras, as premissas são verdadeiras, e a conclusão decorre necessariamente dessas premissas.
Exemplo 9
O argumento “Todos os gatos são mamíferos e um tigre é um gato, portanto um tigre é um mamífero” é um argumento dedutivo válido.
As premissas são:
Todos os gatos são mamíferos
Um tigre é um gato
A conclusão é:
Um tigre é um mamífero
As premissas são verdadeiras. Para ver que as premissas devem logicamente conduzir à conclusão, uma abordagem seria utilizar um diagrama Venn. A partir da primeira premissa, podemos concluir que o conjunto de gatos é um subconjunto do conjunto de mamíferos. A partir da segunda premissa, é-nos dito que um tigre se encontra dentro do conjunto de gatos. A partir daí, podemos ver no diagrama Venn que o tigre também se encontra dentro do conjunto de mamíferos, pelo que a conclusão é válida.
Argumentos Analizadores com Diagramas Venn
Para analisar um argumento com um diagrama Venn
- Desenhar um diagrama Venn com base nas premissas do argumento
- Se as premissas forem insuficientes para determinar o que determina a localização de um elemento, indicar isso.
- O argumento é válido se for claro que a conclusão deve ser verdadeira
Exemplo 10
Premise: Todos os bombeiros conhecem CPR
Premise: Jill conhece CPR
Conclusion: Jill é bombeiro
Desde a primeira premissa, sabemos que todos os bombeiros se encontram dentro do conjunto daqueles que conhecem RCP. Da segunda premissa, sabemos que Jill é membro desse conjunto maior, mas não temos informação suficiente para saber se ela também é membro do subconjunto menor que é o dos bombeiros.
Desde que a conclusão não decorre necessariamente das premissas, este é um argumento inválido, independentemente de Jill ser realmente um bombeiro.
É importante notar que o facto de Jill ser ou não realmente um bombeiro não é importante na avaliação da validade do argumento; estamos apenas preocupados em saber se as premissas são suficientes para provar a conclusão.
Além destas premissas de estilo categórico do formulário “todos ___”, “alguns ____,” e “não ____,” é também comum ver premissas que são implicações.
Exemplo 11
Premise: Se vive em Seattle, vive em Washington.
Premise: Marcus não vive em Seattle
Conclusion: Marcus não vive em Washington
Desde a primeira premissa, sabemos que o conjunto de pessoas que vivem em Seattle está dentro do conjunto daqueles que vivem em Washington. Da segunda premissa, sabemos que Marcus não reside no conjunto de Seattle, mas não temos informação suficiente para saber se Marcus vive ou não em Washington. Este é um argumento inválido.
Exemplo 12
Considerar o argumento “És um homem casado, por isso deves ter uma esposa”
Este é um argumento inválido, uma vez que existem, pelo menos em partes do mundo, homens que são casados com outros homens, pelo que a premissa não é insuficiente para implicar a conclusão.
alguns argumentos são melhor analisados usando tabelas de verdade.
Exemplo 13
Considerar o argumento:
Premise: Se comprou pão, então foi à loja
Premise: Comprou pão
Conclusion: Foi à loja
Embora este exemplo seja um argumento válido, esperamos que seja bastante óbvio, podemos analisá-lo utilizando uma tabela de verdade, representando simbolicamente cada uma das premissas. Podemos então olhar para a implicação de que as premissas em conjunto implicam a conclusão. Se a tabela de verdade é uma tautologia (sempre verdadeira), então o argumento é válido.
P>Representaremos B “compraste pão” e S representa “foste à loja”. Então o argumento torna-se:
Premise: B → S
Premise: B
Conclusion: S
Para testar a validade, analisamos se a combinação das duas premissas implica a conclusão; é verdade que → S ?
| B | S | B → S | (B→S) ⋀ B | → S | |
| T | T | T | T | ||
| T | F | F | F | T | |
| F | T | T | F | T | T |
| F | F | T | F | T |
Desde a tabela da verdade para → S é sempre verdade, este é um argumento válido.
Análise de argumentos usando tabelas de verdade
Análise de um argumento com uma tabela de verdade:
- Representar simbolicamente cada uma das premissas
- Criar uma declaração condicional, juntando todas as premissas com e para formar o precedente, e usando a conclusão como consequência.
- Criar uma tabela de verdade para essa declaração. Se for sempre verdade, então o argumento é válido.
Exemplo 14
Premise: Se eu for ao centro comercial, então comprarei jeans novos
Premise: Se eu comprar jeans novos, comprarei uma camisa para ir com ele
Conclusion: Se eu chegar ao centro comercial, comprarei uma camisa.
p>p>Let M = vou ao centro comercial, J = compro jeans, e S = compro uma camisa.p>p>As premissas e a conclusão podem ser declaradas como:
Premise: M → J
Premise: J → S
Conclusion: M → S
Podemos construir uma tabela de verdade para → (M→S)
| M | J | S | M → J | J → S | (M→J) ⋀ (J→S) | M → S | → (M→S) | |
| T | T | T | T | T | T | T | T | |
| T | T | F | T | F | F | F | T | |
| T | F | T | F | F | T | F | T | T |
| T | F | F | F | T | F | F | F | T |
| F | T | T | T | T | T | T | ||
| F | T | F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | T | T | T | T | T |
| F | F | F | T | T | T | T |
Da tabela da verdade, podemos ver que este é um argumento válido.
- Technicamente, estes são círculos Euler ou diagramas Euler, não diagramas Venn, mas por uma questão de simplicidade continuaremos a chamá-los diagramas Venn. ↵