Reglas básicas de los exponentes: Reglas básicas

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Los exponentes son la abreviatura de la multiplicación repetida de una misma cosa por sí misma. Por ejemplo, la abreviatura para multiplicar tres copias del número 5 se muestra a la derecha del signo «igual» en (5)(5)(5) = 53. El «exponente», que en este ejemplo es 3, representa el número de veces que se multiplica el valor. Lo que se multiplica, que es 5 en este ejemplo, se llama «base».

Este proceso de usar exponentes se llama «elevar a una potencia», donde el exponente es la «potencia». La expresión «53» se pronuncia como «cinco, elevado a la tercera potencia» o «cinco a la tercera».

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Hay dos potencias con nombre especial: «a la segunda potencia» se pronuncia generalmente como «al cuadrado», y «a la tercera potencia» se pronuncia generalmente como «al cubo». Así, «53» se pronuncia comúnmente como «cinco al cubo».

Cuando tratamos con números, normalmente nos limitamos a simplificar; preferimos tratar con «27» que con «33». Pero con las variables, necesitamos los exponentes, porque preferimos tratar con «x6» que con «xxxxxx».

Los exponentes tienen unas cuantas reglas que podemos usar para simplificar expresiones.

• Simplificar (x3)(x4).

Para simplificar esto, puedo pensar en términos de lo que significan esos exponentes. «A la tercera» significa «multiplicar tres ejemplares» y «a la cuarta» significa «multiplicar cuatro ejemplares». Usando este hecho, puedo «expandir» los dos factores, y luego trabajar hacia atrás hasta la forma simplificada. Primero, expando:
(x3)(x4) = (xxx)(xxxx)
Ahora puedo quitar los paréntesis y juntar todos los factores:
(xxx)(xxxx) = xxxxxxx
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Esto son siete copias de la variable. «Multiplicar siete copias» significa «a la séptima potencia», por lo que se puede replantear como:
xxxxxxx = x7
Poniendo todo junto, los pasos son los siguientes:
(x3)(x4) = (xxx)(xxxx)
= xxxxxxx
= x7
Entonces la forma simplificada de (x3)(x4) es:
x7
Nota que x7 también es igual a x(3+4). Esto demuestra la primera regla básica de los exponentes:
Cuando se multiplican dos términos con la misma base, se pueden sumar los exponentes:
( x m ) ( x n ) = x( m + n )
Sin embargo, NO podemos simplificar (x4)(y3), porque las bases son diferentes: (x4)(y3) = xxxxyyy = (x4)(y3). No se combina nada.
• Simplifica (a5 b3) (a b7).
Ahora que conozco la regla (es decir, que puedo sumar las potencias en la misma base), puedo empezar moviendo las bases para que todas las bases iguales estén al lado:
(a5 b3) (a b7) = (a5) (a) (b3) (b7)
Afiliado
iv
Ahora quiero añadir las potencias en las a y las b. Sin embargo, la segunda a no parece tener una potencia. ¿Qué añado para este término?
Cualquier cosa que no tenga potencia sobre ella, en un sentido técnico, es «elevada a la potencia 1». Cualquier cosa a la potencia 1 es simplemente ella misma, ya que está «multiplicando una copia» de sí misma. Así que la expresión anterior se puede reescribir como:
(a5) (a) (b3) (b7) = (a5) (a1) (b3) (b7)
Ahora puedo combinar:
(a5) (a1) (b3) (b7) = a5+1 b3+7 = a6 b10
Poniendo todo junto, mi trabajo a mano quedaría así:
(a5 b3) (a b7) = (a5 a1) (b3 b7) =
a6 b10
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En el siguiente ejemplo, hay dos potencias, con una potencia que está «dentro» de la otra, en cierto sentido.
• Simplificar (x2)4
Para hacer la simplificación, puedo empezar pensando en lo que significan los exponentes. El «a la cuarta» por fuera significa que estoy multiplicando cuatro copias de cualquier base que esté dentro del paréntesis. En este caso, la base de la cuarta potencia es x2. Multiplicando cuatro copias de esta base me da:
(x2)4 = (x2)(x2)(x2)(x2)
Cada factor en la expansión anterior está «multiplicando dos copias» de la variable. Esto se expande como:
(x2)(x2)(x2) = (xx)(xx)(xx)(xx)
Quitando los paréntesis, obtengo:
(xx)(xx)(xx)(xx) = xxxxxxxx
Esto es una cadena de ocho copias de la variable. «Multiplicar ocho copias» significa «a la octava potencia», por lo que esto significa:
xxxxxxxx = x8
Poniendo todo junto:
(x2)4 = (x2)(x2)(x2)(x2)
= (xx)(xx)(xx)
= xxxxxxxx
= x8
Nota que (x2)4 = x8, y que 2 × 4 = 8. Esto demuestra la segunda regla de los exponentes:
Cuando se tiene una expresión de exponente elevada a una potencia, se puede simplificar multiplicando la potencia exterior por la interior:
( xm ) n = x m n
Si tienes un producto dentro de paréntesis, y una potencia sobre el paréntesis, entonces la potencia va sobre cada elemento interior. Por ejemplo:
(xy2)3 = (xy2)(xy2)(xy2)
= (xxx)(y2y2y2)
= (xxx)(yyyyy)
= x3y6
= (x)3(y2)3
Otro ejemplo sería:

Atención: Esta regla NO funciona si tienes una suma o diferencia dentro del paréntesis. Los exponentes, a diferencia de la mulitiplicación, NO se «distribuyen» sobre la suma.
Por ejemplo, dado (3 + 4)2, NO sucumbas a la tentación de decir: «Oye, esto es igual a 32 + 42 = 9 + 16 = 25», porque esto es incorrecto. En realidad, (3 + 4)2 = (7)2 = 49, no 25.
Cuando tengas dudas, escribe la expresión según la definición de la potencia. Por ejemplo, dado (x – 2)2, no intentes hacerlo en tu cabeza. En su lugar, escríbelo; «al cuadrado» significa «multiplicar dos copias de», así que:
(x – 2)2 = (x – 2)(x – 2)
= x(x – 2) – 2(x – 2)
= xx – 2x – 2x + 4
= x2 – 4x + 4.
El error de tratar de «repartir» erróneamente el exponente se comete más a menudo cuando el estudiante está tratando de hacer todo en su cabeza, en lugar de mostrar su trabajo. Haz las cosas de forma ordenada y no será tan probable que cometas este error.
• Simplifica (a2 b3 c)4
Ahora que conozco la regla de las potencias sobre las potencias, puedo llevar el 4 a cada uno de los factores que hay dentro. (Tendré que recordar que, con la c, dentro del paréntesis es «a la potencia 1».)
(a2)4 (b3)4 (c1)4
= (a2×4) (b3×4) (c1×4)
= a8 b12 c4
Afiliado

Hay otra regla que puede o no ser cubierta en tu clase en esta etapa:
Cualquier cosa hasta la potencia cero es simplemente «1» (siempre que la «cualquier cosa» no sea ella misma cero).
Esta regla se explica en la página siguiente. En la práctica, sin embargo, esta regla significa que algunos ejercicios pueden ser mucho más fáciles de lo que parece a primera vista:
• Simplificar 0
¿A quién le importa eso que hay dentro de los corchetes? A mí seguro que no, porque la potencia cero de fuera significa que el valor de todo es sólo 1. ¡Ja!
0 = 1
Afiliado
Por cierto, en cuanto tu clase cubra «a la potencia cero», deberías esperar un ejercicio como el de arriba en el próximo examen. Es una pregunta trampa común, diseñada para hacerte perder mucho de tu limitado tiempo – pero sólo funciona si no estás prestando atención.
Puedes usar el widget de Mathway de abajo para practicar la simplificación de expresiones con exponentes. Prueba el ejercicio introducido, o escribe tu propio ejercicio. Luego haz clic en el botón para comparar tu respuesta con la de Mathway. (O sáltate el widget y continúa con la lección, o revisa un montón de ejemplos trabajados aquí.)
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