Cuando se utiliza en física e ingeniería, el teorema de inversión de Fourier se usa a menudo bajo la suposición de que todo «se comporta bien». En matemáticas no se permiten tales argumentos heurísticos, y el teorema de inversión de Fourier incluye una especificación explícita de la clase de funciones que se permite. Sin embargo, no hay una clase «mejor» de funciones a considerar, por lo que existen varias variantes del teorema de inversión de Fourier, aunque con conclusiones compatibles.
Funciones de SchwartzEditar
El teorema de inversión de Fourier se cumple para todas las funciones de Schwartz (a grandes rasgos, funciones suaves que decaen rápidamente y cuyas derivadas decaen todas rápidamente). Esta condición tiene la ventaja de que es una afirmación directa elemental sobre la función (en lugar de imponer una condición sobre su transformada de Fourier), y la integral que define la transformada de Fourier y su inversa son absolutamente integrables. Esta versión del teorema se utiliza en la demostración del teorema de inversión de Fourier para distribuciones templadas (ver más abajo).
Funciones integrables con transformada de Fourier integrableEditar
El teorema de inversión de Fourier se cumple para todas las funciones continuas que son absolutamente integrables (es decir, L 1 ( R n ) {\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})} ) con transformada de Fourier absolutamente integrable. Esto incluye todas las funciones de Schwartz, por lo que es una forma estrictamente más fuerte del teorema que la anterior mencionada. Esta condición es la que se utilizó anteriormente en la sección de enunciados.
Funciones integrables en una dimensiónEditar
Suave a trozos; una dimensión F – 1 g ( x ) := lim R → ∞ ∫ – R R e 2 π i x ξ g ( ξ ) d ξ . {\displaystyle {\mathcal {F}^{-1}g(x):=\lim _{R}^R}e^{2\pi ix\xi }\\aquí se puede ver el resultado de la prueba.
Entonces, para todo x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} }
F – 1 ( F f ) ( x ) = 1 2 ( f ( x – ) + f ( x + ) ) , {\displaystyle {\mathcal {F}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)={\frac {1}{2}}(f(x_{-})+f(x_{+})),}
Un análogo de mayor dimensión de esta forma del teorema también es válido, pero según Folland (1992) es «bastante delicado y no terriblemente útil».
Si la función es absolutamente integrable en una dimensión (es decir, f ∈ L 1 ( R ) {\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )} ) pero meramente continua a trozos, entonces sigue siendo válida una versión del teorema de la inversión de Fourier. En este caso la integral en la transformada inversa de Fourier se define con la ayuda de una función de corte suave en lugar de aguda; concretamente definimos
F – 1 g ( x ) := lim R → ∞ ∫ R φ ( ξ / R ) e 2 π i x ξ g ( ξ ) d ξ , φ ( ξ ) := e – ξ 2 . {\displaystyle {\mathcal {F}^{-1}g(x):=\lim _{R} a \infty }\int _{mathbb {R} }\varphi (\xi /R)\\a, e^{2\pi ix\xi }\a, g(\xi )\a, d\a, \qquad \a, varphi (\xi ):=e^{-\xi ^{2}}.}
La conclusión del teorema es entonces la misma que para el caso suave a trozos discutido anteriormente.
Si f {\displaystyle f} es continua y absolutamente integrable en R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} entonces el teorema de inversión de Fourier sigue siendo válido siempre que definamos de nuevo la transformada inversa con una función de corte suave i.e.
F – 1 g ( x ) := lim R → ∞ ∫ R n φ ( ξ / R ) e 2 π i x ⋅ ξ g ( ξ ) d ξ , φ ( ξ ) := e – | ξ | 2 . {\displaystyle {\mathcal {F}^{-1}g(x):=\lim _{R\a \infty }\int _{mathbb {R} ^{n}}varphi (\xi /R)\\a,e^{2\pi ix\cdot \xi }\a,d\a,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-vert \xi \a,^{2}}.}
La conclusión es ahora simplemente que para todo x ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
F – 1 ( F f ) ( x ) = f ( x ) . {\displaystyle {\mathcal {F}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).} Sin condición de regularidad; cualquier número de dimensiones
Si abandonamos todas las suposiciones sobre la continuidad (a trozos) de f {\displaystyle f} y asumimos simplemente que es absolutamente integrable, entonces una versión del teorema sigue siendo válida. La transformada inversa se define de nuevo con el corte suave, pero con la conclusión de que
F – 1 ( F f ) ( x ) = f ( x ) {\mathcal {F}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}
Para casi todo x ∈ R n . {\displaystyle x\ en \mathbb {R} ^{n}.}
Funciones cuadradas integrablesEditar
En este caso la transformada de Fourier no puede definirse directamente como una integral ya que puede no ser absolutamente convergente, por lo que en su lugar se define mediante un argumento de densidad (ver el artículo de la transformada de Fourier). Por ejemplo, poniendo
g k ( ξ ) := ∫ { y ∈ R n : | y | ≤ k } e – 2 π i y ⋅ ξ f ( y ) d y , k ∈ N , {\displaystyle g_{k}(\xi ):=\int _{y\ en \mathbb {R} ^{n}:\f(y),dy,\qquad k\} en \mathbb {N} ,f ( x ) = F ( F – 1 f ) ( x ) = F – 1 ( F f ) ( x ) {\mathcal {F}}({\mathcal {F}^{-1}f)(x)={\mathcal {F}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}
en la norma media cuadrática. En una dimensión (y sólo en una dimensión), también se puede demostrar que converge para casi todo x∈ℝ-este es el teorema de Carleson, pero es mucho más difícil de demostrar que la convergencia en la norma media cuadrática.
Distribuciones templadasEditar
⟨ F f , φ ⟩ := ⟨ f , F φ ⟩ , {\displaystyle \langle {\mathcal {F}}f,\varphi \rangle :=\langle f,{\mathcal {F}\varphi \rangle ,} F F – 1 = F – 1 F = Id S ′ ( R n ) . {{displaystyle}} {{mathcal {F}}^{-1}}={mathcal {F}^{-1}} {{mathcal {F}}={operatorname {Id}} {{mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}.}