Física sin límites

Los fundamentos

Hasta ahora, hemos asumido que cualquier fuerza que actúa sobre un objeto ha sido paralela a la dirección del movimiento. Hemos considerado que nuestro movimiento es unidimensional, que sólo actúa a lo largo del eje x o y. Para examinar y comprender mejor cómo opera la naturaleza en nuestro mundo tridimensional, primero hablaremos del trabajo en dos dimensiones para construir nuestra intuición.

Una fuerza no tiene por qué, y rara vez lo hace, actuar sobre un objeto en paralelo a la dirección del movimiento. En el pasado, derivamos que W = F d; tal que el trabajo realizado sobre un objeto es la fuerza que actúa sobre el objeto multiplicada por el desplazamiento. Pero esto no es todo. Esta expresión contiene un término coseno supuesto, que no consideramos para las fuerzas paralelas a la dirección del movimiento. «¿Por qué íbamos a hacer algo así? «se preguntará. Lo hacemos porque ambas son equivalentes. Si el ángulo de la fuerza a lo largo de la dirección del movimiento es cero, de manera que la fuerza es paralela a la dirección del movimiento, entonces el término del coseno es igual a uno y no cambia la expresión. A medida que aumentamos el ángulo de la fuerza con respecto a la dirección del movimiento, se realiza cada vez menos trabajo a lo largo de la dirección que estamos considerando; y se realiza cada vez más trabajo en otra dirección de movimiento perpendicular. Este proceso continúa hasta que estamos perpendiculares a nuestra dirección de movimiento original, de manera que el ángulo es de 90, y el término del coseno sería igual a cero; lo que resulta en un trabajo cero realizado a lo largo de nuestra dirección original. En cambio, ¡estamos haciendo trabajo en otra dirección!

Ángulo: Recordemos que tanto la fuerza como la dirección del movimiento son vectores. Cuando el ángulo es de 90 grados, el término del coseno es cero. Cuando a lo largo de la misma dirección, son iguales a uno.

Mostremos esto explícitamente y luego veamos este fenómeno en términos de una caja que se mueve a lo largo de las direcciones x e y.

Hemos discutido que el trabajo es la integral de la fuerza y el producto punto respecto a x. Pero de hecho, el producto punto de la fuerza y una distancia muy pequeña es igual a los dos términos por el coseno del ángulo entre los dos. F * dx = Fdcos(theta). Explícitamente,

int_{text{t}_2}^{text{t}_1}{text{F}{cdot} = int_{text{t}2}^{text{t}1}{text{Fd}costheta}{text{dx} = \text{Fd}cos\theta

Una caja siendo empujada

Consideremos un sistema de coordenadas tal que tenemos x como abscisa e y como ordenada. Más aún, considera una caja que es empujada a lo largo de la dirección x. ¿Qué ocurre en los tres escenarios siguientes?

• ¿La caja está siendo empujada en paralelo a la dirección x?
• La caja está siendo empujada con un ángulo de 45 grados respecto a la dirección x?
• ¿La caja está siendo empujada con un ángulo de 60 grados respecto a la dirección x?
• ¿La caja está siendo empujada en un ángulo de 90 grados con respecto a la dirección x?

En el primer escenario, sabemos que toda la fuerza está actuando sobre la caja a lo largo de la dirección x, lo que significa que el trabajo sólo se hará a lo largo de la dirección x. Más aún, una perspectiva vertical la caja no se está moviendo – es sin cambios en la dirección y. Dado que la fuerza está actuando en paralelo a la dirección del movimiento, el ángulo es igual a cero y nuestro trabajo total es simplemente la fuerza por el desplazamiento en la dirección x.

En el segundo escenario, la caja está siendo empujada en un ángulo de 45 grados con respecto a la dirección x; y por lo tanto también un ángulo de 45 grados con respecto a la dirección y. Cuando se evalúa, el coseno de 45 grados es igual a 1/\sqrt{2}, o aproximadamente 0,71. Esto significa que el 71% de la fuerza está contribuyendo al trabajo a lo largo de la dirección x. El otro 29% está actuando a lo largo de la dirección y.

En el tercer escenario, sabemos que la fuerza está actuando en un ángulo de 60 grados a la dirección x; y por lo tanto también un ángulo de 30 grados a la dirección y. Cuando se evalúa, el coseno de 60 grados es igual a 1/2. Esto significa que la fuerza actúa por igual en la dirección x y en la dirección y. El trabajo realizado es lineal con respecto a x e y.

En el último escenario, la caja está siendo empujada en un ángulo perpendicular a la dirección x. En otras palabras, ¡estamos empujando la caja en la dirección y! Por lo tanto, la posición de la caja no cambiará y no experimentará ningún desplazamiento a lo largo del eje x. El trabajo realizado en la dirección x será cero.