É possível para nós transformar uma função reduzindo-a? Sim! Uma das técnicas de transformação mais úteis que encontrará é a compressão vertical.
A compressão vertical ajuda-nos a encolher funções verticalmente.
Mas por quanto? Depende do factor de escala.
Antes de começarmos a mergulhar mais fundo neste tópico, vamos certificar-nos de que estamos equipados com as técnicas e conhecimentos correctos revendo os seguintes tópicos:
- Compreendendo as funções parentais comuns que poderemos encontrar.
- Refresca o seu conhecimento das transformações verticais e horizontais.
- Aprenda também a aplicar estiramentos verticais e horizontais.
Neste artigo, aprenderemos a identificar as compressões verticais dadas duas ou mais expressões e gráficos de funções. Também aplicaremos os nossos conhecimentos sobre compressões verticais através da representação gráfica de diferentes tipos de funções.
O que é uma compressão vertical?
Compressões verticais ocorrem quando uma função é multiplicada por um factor de escala racional. A base do gráfico da função permanece a mesma quando um gráfico é comprimido verticalmente. Apenas os valores de saída serão afectados.
Porque não observamos o que acontece quando f(x) é comprimido verticalmente por um factor de escala de 1/2 e 1/4?
Como seria de esperar, quando f(x) é comprimido verticalmente por um factor de escala de 1/2 e 1/4, o gráfico também é comprimido pelo mesmo factor de escala.
Em geral, quando uma função é comprimida verticalmente por a (onde 0 < a < 1), o gráfico encolhe pelo mesmo factor de escala. Vamos aplicar o conceito para que possamos comprimir f(x) = 6|x| + 8 por um factor de escala de 1/2.
Para comprimir f(x), vamos multiplicar o valor de saída por 1/2.
1/2 ∙ f(x) = 1/2 (6|x| + 8)
= 3|x| + 4
Agora, o que acontece com as coordenadas de uma função que é comprimida por um factor de escala de a, onde 0 < a < 1? Se a função de base passar pelo ponto (m, n), a função comprimida verticalmente passará pelo ponto (m, an).
Como comprimir verticalmente uma função? Compreendemos agora como a compressão vertical afecta uma função de base. Agora, como aplicar esta técnica quando nos é dado um gráfico de uma função?
Aqui estão alguns dos conceitos importantes a recordar quando transformamos gráficos e os comprimimos verticalmente:
- Só os valores das coordenadas y mudarão por um factor de escala de a (verificar se a é uma fracção).
- Utilizar pontos críticos e alguns pares ordenados para o guiar na compressão de um gráfico.
- Retenha a(s) letra(s) x do gráfico mas a letra y também diminuirá por um factor de escala de a.
Porque não tentamos comprimir y = 4(x- 4) por um factor de escala de 1/4?
Como já mencionámos, é importante verificar os pontos de referência e certificar-se de que podem ser escalados com o factor correcto. Se quisermos comprimir y = 4(x- 4) por um factor de escala de 1/4, teremos os seguintes pontos:
- (2, -8) → (2, -2)
- (6, 8) → (6, 2)
- O intercepção x, (4, 0), continuará a ser o mesmo.
Após termos alguns dos pontos para o novo gráfico comprimido, vamos fazer um gráfico da função transformada.
A partir disto, podemos ver que quando y = 4(x – 4) é comprimido por um factor de escala de 1/4, a nova função é igual a y = x – 4.
Podemos aplicar o mesmo processo ao comprimir verticalmente outras funções. Mas primeiro, porque não recapitular o que aprendemos até agora antes de tentarmos outras funções e gráficos?
Resumo da definição e propriedades da compressão vertical
Aqui estão alguns lembretes importantes quando se comprime verticalmente o gráfico ou expressão de uma dada função:
- Quando 0 < a < 1, af(x) irá retornar um gráfico comprimido verticalmente com um factor de escala de a.
- Aplicar este conceito com a coordenada da função, assim (m, n) torna-se (m, an).
- O valor e a posição do(s) conceito(s) x são os mesmos.
- Quando f(x) é comprimido verticalmente, o seu domínio permanecerá constante mas o seu alcance pode mudar.
Estamos agora prontos para experimentar mais exemplos e aplicar os nossos novos conhecimentos sobre compressões verticais. Não se esqueça de rever as suas notas!
Exemplo 1
A tabela de valores para f(x) é mostrada abaixo. Se h(x) = 1/2 ∙ f(x), construa uma tabela de valores para a função h(x).
| -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 20 | 10 | 4 | 2 | 4 | 10 | 20 |
Solução
(1, 2) → (1, 1)
p>Utilizar o mesmo raciocínio para completar o resto da tabela de valores para h(x).
| -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 10 | 5 | 2 | 1 | 2 | 5 | 10 |
Exemplo 2
Utilizar o gráfico mostrado abaixo para expressar as relações entre os três.
Solução
Podemos avançar e verificar alguns pontos de referência para observar as compressões verticais feitas em cada um dos gráficos.
(2, -2) → (2, -12) e (6, -2) → (6, -12)
Dos dois pares, podemos ver que f(x) é o resultado quando g(x) é comprimido verticalmente por um factor de escala de 1/6.
(2, -1) → (2, -2) e (6, -1) → (6, -2)
Hence, h(x) é o resultado quando g(x) é comprimido verticalmente por um factor de escala de 1/2,
c. Observar os dois pares de pontos para encontrar o factor de escala partilhado entre f(x) e h(x).
(2, -1) → (2, -12) e (6, -1) → (6, -12)
P>Destes, podemos ver que h(x) é o resultado quando f(x) é comprimido verticalmente por um factor de escala de 1/12.
Exemplo 3
Gráfico da função de g(x) = 1/4 ∙ √x. No mesmo gráfico, plotar g(x) usando compressões verticais.
Solução
Já aprendemos que a função pai das funções da raiz quadrada é y = √x. Vamos em frente e traçar o gráfico y = √x primeiro.
Adicionámos alguns pares encomendados como guias uma vez que traçamos o gráfico g(x). Uma vez que queremos comprimir verticalmente, dividiremos as coordenadas y da função de parentalidade por 4.
Hence, temos g(x) representado pelo gráfico laranja.
Exemplo 4
Gráfico f(x) = 6 √(9 – x2) encontrando as suas intercepções. No mesmo sistema de coordenadas, o gráfico g(x) e h(x) dadas as seguintes condições:
- A função g(x) é o resultado de f(x) ser verticalmente comprimido por um factor de 1/2.
- A função h(x) é o resultado de g(x) ser verticalmente comprimido por um factor de 1/3.
Solução
Como sugerido, vamos em frente e encontrar os intertextos x e y de f(x).
| -3 | 0 | 3 | |
| f(x) | 0 | 18 | 0 |
Vamos prosseguir e traçar estas intercepções, bem como o gráfico de f(x).
Vamos agora continuar a fazer o gráfico h(x) escalando g(x) verticalmente por 1/3. Isto resulta em h(x) ter um y-intercepção por (0, 3).
Temos agora as três funções f(x), g(x), e h(x) num sistema de coordenadas. Este problema confirma também o facto de que a base do gráfico da função e os intercepção x permanecerão os mesmos.
Exemplo 5
Descreve as transformações feitas para cada par de funções.
a. g(x) = 3×2 → h(x) = x2/15
b. g(x) = 12x + 4 → h(x) = 3x + 1
c. g(x) = 8|x – 2| – 4 → h(x) = |x -2| – 3
Solução
b. Dividir g(x) por 4 resultará em (12x + 4)/4 = 3x + 1, portanto h(x) é o resultado de g(x) ser verticalmente comprimido por um factor de escala de 1/4.
Practice Questions
- A tabela de valores para f(x) é mostrada abaixo. Se h(x) = 1/3∙ f(x), construir uma tabela de valores para a função h(x).
| -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 30 | 15 | 6 | 3 | 6 | 15 | 30 |
2. Utilize o gráfico abaixo para expressar as relações entre os três.
a. Qual é a relação partilhada entre g(x) e f(x)?
b. Qual é a relação partilhada entre g(x) e h(x)?
c. Qual é a relação partilhada entre f(x) e h(x)?
3. Gráfico da função dos pais de g(x) = 1/3 ∙ x2. No mesmo gráfico, plotar g(x) usando compressões verticais.
- A função g(x) é o resultado de f(x) ser comprimido verticalmente por um factor de 1/4.
- A função h(x) é o resultado de g(x) ser comprimido verticalmente por um factor de 1/2.
5. Descrever as transformações feitas para cada par de funções.
a. g(x) = 2×2 → h(x) = x2/8
b. g(x) = 36x + 9 → h(x) = 4x + 1
c. g(x) = 6|x + 3| – 6 → h(x) = |x + 3| – 1